Suposiciones
Se nos da un conjunto [matemático] S [/ matemático] de enteros. Contiene [math] o \ in \ mathbb {N} [/ math] enteros impares distintos y [math] e \ in \ mathbb {N} [/ math] enteros pares distintos. Deseamos encontrar el número de formas de elegir [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math] enteros totales (que permiten un número ilimitado de duplicados) de [math] S [/ math], tal que la suma de los enteros elegidos son impares.
Responder:
[matemáticas] \ boxed {\ sum \ limits_ {i = 1} ^ {\ lceil \ frac {k} {2} \ rceil} {\ binom {2i + o-2} {o-1} \ binom {k- 2i + e} {e-1}}} [/ matemáticas]
- Dado que n! = 2,432,902,008,176,640,000, ¿Cómo encontramos n? ¿Hay una función para esto?
- ¿Existe un algoritmo más simple para encontrar el número de dígitos que ocurren antes de repetir en la serie de congruencia 1 / N (base 10)?
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A continuación se encuentran las respuestas para algunos valores pequeños de [matemáticas] o [/ matemáticas], [matemáticas] e [/ matemáticas] y [matemáticas] k [/ matemáticas].
Razonamiento:
Primero, notamos que una suma de enteros [math] k [/ math] es impar si un número impar de los enteros [math] k [/ math] es impar y el resto es par. (1)
Debemos encontrar el número de formas en que algunos de nuestros enteros [math] k [/ math] pueden ser de los enteros impares [math] o [/ math] (permitiendo duplicados). Usando [math] 2i-1 [/ math] para [math] i = 1,…, \ lceil \ frac {k} {2} \ rceil [/ math] asegura que solo estamos contando aquellos casos donde el número de impares los enteros elegidos son impares y entre [matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] k [/ matemática], inclusive (para satisfacer (1)). Hay [math] \ binom {2i + o-2} {o-1} [/ math] formas de dividir los [enteros] 2i-1 [/ math] enteros impares elegidos entre [math] o [/ math] enteros impares distintos, al aplicar [math] \ geq 0 [/ math] de cada entero impar distinto. Esto se puede ver aplicando el Teorema dos de Estrellas y barras.
Para cada una de estas opciones de enteros impares, debemos encontrar el número de formas en que [math] k- (2i-1) [/ math] de nuestros [math] k [/ math] enteros pueden ser de [math] e [/ math] números pares (permitiendo duplicados). Hay [math] \ binom {k-2i + e} {e-1} [/ math] formas de dividir los [math] k- (2i-1) [/ math] incluso enteros entre los [math] e [ / math] enteros pares distintos, cuando se aplica [math] \ geq 0 [/ math] de cada entero par distinto. Esto se puede ver aplicando el Teorema dos de Estrellas y barras.