Parece que está buscando el máximo de [matemáticas] \ frac {d (n) -2} {n-1} [/ matemáticas] donde [matemáticas] d (n) [/ matemáticas] es el número de divisores de [matemáticas] n [/ matemáticas]. Restas 2 porque no estás contando [matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] n [/ matemáticas]. Restas 1 del denominador porque estás contando enteros positivos menos que [math] n [/ math].
Deje que [matemáticas] h (n) = \ frac {d (n) -2} {n-1} [/ matemáticas]
Obviamente, esto es menor que 1, ya que es el número de números que satisfacen una condición al número de números marcados.
De hecho, no puede ser más que [matemáticas] \ frac {1} {2} [/ matemáticas] (piense en la divisibilidad por dos).
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Los primeros diez valores de [matemática] h [/ matemática] (que define [matemática] h (1) = 0 [/ matemática]) son
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
0,0,0,1 / 3,0, .4,0,2 / 7,1 / 8,2 / 9
El número más grande es [matemática] 0.4 [/ matemática] y es [matemática] h (6) [/ matemática]. Este es el valor máximo posible de [math] h [/ math].
Este es el por qué:
[matemática] h [/ matemática] es [matemática] 0 [/ matemática] para cualquier primo porque los primos solo son divisibles por [matemática] 1 [/ matemática] y ellos mismos.
[matemáticas] d (a * b) = d (a) * d (b) [/ matemáticas] para [matemáticas] a [/ matemáticas] relativamente primo a [matemáticas] b [/ matemáticas]
Si [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] no son relativamente primos, entonces
[matemáticas] d (a * b) <d (a) * d (b) [/ matemáticas]
¿Qué significa esto para [matemáticas] h [/ matemáticas]?
[matemáticas] h (a * b) = \ frac {d (a * b) -2} {a * b-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {d (a * b)} {a * b-1} – \ frac {2} {a * b-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ leq \ frac {d (a) * d (b)} {a * b-1} – \ frac {2} {a * b-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {d (a)} {a-1 / b} \ frac {d (b)} {b} – \ frac {2} {a * b-1} [/ matemáticas]
Recuerde que [matemáticas] \ frac {d (b)} {b} <\ frac {1} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] h (a * b) \ leq \ frac {d (a)} {2 * (a-1 / b)} – \ frac {2} {a * b-1} [/ matemáticas]
Y, por último, para todos [matemáticas] a, b [/ matemáticas] lo suficientemente grande (con un poco más de álgebra puede demostrar que no es necesario que sean muy grandes)
[matemáticas] h (a * b) <\ frac {d (a) -2} {a-1} [/ matemáticas]
Finalmente, después de verificar algunos casos, concluimos que el número que desea es 6.