¿Cómo probar si una ecuación polinómica es divisible por una ecuación cuadrática? Por ejemplo, ¿cómo probarías que x ^ 20 + x ^ 10 + 1 es divisible por x ^ 2-x + 1

Answer 1

Suponga que se le pide que decida si el polinomio cuadrático [matemático] ax ^ 2 + bx + c [/ matemático] divide un polinomio [matemático] p (x) [/ matemático] de grado [matemático] n [/ matemático]. El algoritmo de división le dice que hay polinomios únicos [matemática] q (x) [/ matemática] y [matemática] r (x) [/ matemática] de tal manera que

[matemáticas] p (x) = (ax ^ 2 + bx + c) \ cdot q (x) + r (x) [/ matemáticas] [matemáticas], [/ matemáticas]

con [matemática] r (x) \ equiv 0 [/ matemática] o [matemática] \ text {deg} \: r (x) <2 [/ matemática] [matemática]. [/ matemática]

Ahora [math] (ax ^ 2 + bx + c) \ mid p (x) [/ math] si y solo si [math] r (x) \ equiv 0 \ ldots (1) [/ math]

Suponga que [math] ax ^ 2 + bx + c = a (x- \ alpha) (x- \ beta) [/ math] [math]. [/ Math] Podemos dar explícitamente los valores de [math] \ alpha [ / math] y [math] \ beta [/ math]. La condición en la ecuación. [math] (1) [/ math] luego se reduce a [math] (x- \ alpha) \ mid p (x) [/ math] y [math] (x- \ beta) \ mid p (x) [/ matemática] [matemática], [/ matemática] si [matemática] \ alpha \ ne \ beta [/ matemática], y a [matemática] (x- \ alpha) ^ 2 \ mid p (x) [/ matemática] if [ matemáticas] \ alpha = \ beta [/ matemáticas] [matemáticas]. [/ matemáticas]

Entonces, si [math] \ alpha \ ne \ beta [/ math], una condición necesaria y suficiente sería

[matemáticas] p (\ alpha) = p (\ beta) = 0 [/ matemáticas],

y si [math] \ alpha = \ beta [/ math] [math], [/ math] sería necesaria una condición necesaria y suficiente

[matemáticas] p (\ alpha) = p ^ {\ prime} (\ alpha) = 0 [/ matemáticas].

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Tenga en cuenta que [matemática] x ^ 2-x + 1 = (x- \ alpha) (x- \ beta) [/ matemática] [matemática], [/ matemática] donde [matemática] \ alpha = (1+ \ sqrt { -3}) / 2 [/ math] y [math] \ beta = (1- \ sqrt {-3}) / 2 [/ math]. Por lo tanto [matemáticas] (x ^ 2-x + 1) \ mid (x ^ {20} + x ^ {10} +1) [/ matemáticas] si y solo si

[matemáticas] {\ alpha} ^ {20} + {\ alpha} ^ {10} + 1 = {\ beta} ^ {20} + {\ beta} ^ {10} + 1 = 0 [/ matemáticas].

En lugar de verificar si esto se cumple o no, la observación de que [matemáticas] (x + 1) (x ^ 2-x + 1) = x ^ 3 + 1 [/ matemáticas] conduce a [matemáticas] {\ alpha} ^ 3 = {\ beta} ^ 3 = -1 [/ matemáticas]. Así

[matemáticas] {\ alpha} ^ {20} + {\ alpha} ^ {10} + 1 = \ big ({\ alpha} ^ 3 \ big) ^ 6 \ cdot {\ alpha} ^ 2 + \ big ({ \ alpha} ^ 3 \ big) ^ 3 \ cdot \ alpha + 1 [/ math]

[matemáticas] = {\ alpha} ^ 2 – \ alpha + 1 = 0 [/ matemáticas].

Dado que los roles de [math] \ alpha [/ math] y [math] \ beta [/ math] son ​​intercambiables, esto también muestra [math] {\ beta} ^ 2 – {\ beta} + 1 = 0 [/ math ]

Aquí hay otra forma de verificar.

Piense en [matemáticas] x ^ 2-x + 1 = 0 [/ matemáticas], y así reemplace [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] por [matemáticas] x-1 [/ matemáticas] en [matemáticas] p (x ) = x ^ {20} + x ^ {10} +1 [/ math] para obtener

[matemáticas] p (x) = \ big (x ^ 2 \ big) ^ {10} + \ big (x ^ 2 \ big) ^ 5 + 1 \ equiv (x-1) ^ {10} + (x- 1) ^ 5 + 1 [/ matemáticas].

Use el teorema binomial para expandir, reemplazando [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] por [matemáticas] x-1 [/ matemáticas] en cada etapa, hasta llegar a un polinomio de grado menor que dos . Este polinomio debe ser [matemático] 0 [/ matemático] para que la división se mantenga.

Finalmente, en este caso , también podríamos hacer las observaciones.

[matemáticas] (x ^ 2-x + 1) (x + 1) = x ^ 3 + 1 [/ matemáticas], [matemáticas] (x ^ {20} + x ^ {10} +1) (x ^ { 10} -1) = x ^ {30} -1 [/ matemáticas] y [matemáticas] (x ^ 3 + 1) \ mid (x ^ 6–1) \ mid (x ^ {30} -1) [ /matemáticas].

Por lo tanto

[matemáticas] (x ^ 2-x + 1) \ mid (x ^ {10} +1) (x ^ {20} + x ^ {10} +1) [/ matemáticas].

Entonces, si pudiéramos mostrar que [math] \ gcd (x ^ 2-x + 1, x ^ {10} +1) = 1 [/ math], tendríamos la divisibilidad deseada. Esto se hace fácilmente;

[matemáticas] (x ^ 2-x + 1) \ mid (x ^ 3 + 1) \ mid (x ^ 9 + 1) [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ {10} +1 = x (x ^ 9 + 1) -x [/ matemáticas]

rendimiento [matemática] \ gcd (x ^ 2-x + 1, x ^ {10} +1) = \ gcd (x ^ 2-x + 1, -x) = \ gcd (-x, 1) = 1 [ /matemáticas].

Para mostrar [math] \ gcd (x ^ 2-x + 1, x ^ {10} +1) = 1 [/ math], también podríamos demostrar que [math] {\ alpha} ^ {10} +1 \ ne 0 [/ math] y [math] {\ beta} ^ {10} +1 \ ne 0; [/ math] recuerda que [math] {\ alpha} ^ 3 = {\ beta} ^ 3 = -1. [/ math] [math] \ blacksquare [/ math]

Answer 2

Para probar que un polinomio dado g (x) divide divide otro polinomio dado p (x) hay un método

Sea p (x) un polinomio de ‘n’ grados en xyg (x) sea un polinomio de m grados en x con n> m

Según el teorema del resto, se puede escribir un polinomio en forma de

p (x) = g (x) * f (x) + r (x)

Donde g (x) es divisor, f (x) es cociente, r (x) es resto y p (x) es dividendo.

Ahora dejemos que las Raíces del polinomio g (x) sean a1, a2, a3 …, am.

Por lo tanto, g (a1) = g (a2) =… = g (am) = 0.

Por lo tanto, si r (x) es cero para todas las ecuaciones anteriores, el resto se convierte en

p (x) = g (x) * f (x)

Ahora pon x = a1, a2, …, am

p (a1) = g (a1) * f (a1) = 0

Del mismo modo, todos p (a2), p (a3), …, p (am) = 0

Por lo tanto, la condición es que todas las raíces del polinomio g (x) también deben ser las raíces del polinomio p (x). Esta es una condición necesaria.

Ahora es suficiente condición

Si g (x) tiene m raíces, puede factorizarse en m factores de la forma (x-a1) * (x-a2) *… .. * (x-am)

Y si p (x) también tiene las mismas raíces m y descansa raíces diferentes de las que se puede factorizar en la forma (x-a1) * (x-a2) * …… * (x-am) * (x-b1) * …… * (xb (nm))

Dividiendo p (x) por g (x) obtenemos un polinomio de factores (x-b1) * …… * (xb (nm)) que es un polinomio.

Entonces, la única condición requerida es que el polinomio del dividendo debe tener las mismas raíces que el polinomio divisor.