Cómo convertir un polinomio cuadrático en forma determinante para convertirlo en una matriz

Supongamos que tenemos una Q cuadrática = [matemática] ax ^ {2} + bx + c [/ matemática] no siempre podemos encontrar una matriz M, con polinomios característicos [matemática] \ chi_ {M} (x) [/ matemática] = det (M-xI). Simplemente porque el polinomio característico es siempre monic, es decir, el coeficiente del término más grande es 1. Un monic quadratic parece Q = [math] x ^ {2} + bx + c [/ math]. Si suponemos que Q es monic, entonces podemos hacerlo.

Para ver esto, deje que [math] a_ {i} [/ math] sea la raíz de Q sobre [math] \ mathbb {C} [/ math] luego tome M como matriz con estas entradas diagonales Ie [math] [M] _ {i, i} = a_ {i} [/ math] y el resto de sus entradas 0. Esto claramente funciona para un polinomio de cualquier tamaño.

Hay una pregunta natural pregunta de seguimiento. Si S es apropiado (realmente significa que podemos sumar, restar y multiplicar dentro del subconjunto) subconjunto de [math] \ mathbb {C} [/ math] y Q es una cuadrática monic con coeficientes en S, ¿podemos elegir siempre nuestra matriz? M tal que solo tiene entradas en S? Podríamos decir que elija S para ser los reales o los enteros.

Una vez más, la respuesta es sí.

Tome [math] M = \ begin {pmatrix} 0 & -c \\ 1 & -b \ end {pmatrix} [/ math]

Entonces [matemáticas] \ chi_ {M} (x) = x ^ {2} + bx + c. [/ Matemáticas]

Más generalmente de cualquier polinomio monico de grado n, digamos P = [matemática] a_ {0} + a_ {1} x +… + x ^ {n} [/ matemática] podemos tomar una matriz M que tiene las entradas diagonales más bajas 1 y donde las entradas de la última columna son [math] -a_ {k} [/ math] comenzando con [math] -a_ {0} [/ math] en la parte superior. Escribiría esto como una matriz, solo que no sé cómo. Puede hacerlo aquí a través de la matriz complementaria – Wikipedia.

También podría preguntarse dado un polinomio P y otro polinomio Q que divide a P, ¿existe un polinomio con un polinomio característico P y un polinomio mínimo Q.

La respuesta es siempre que P y Q sean monicos y cada raíz de P sea una raíz de Q. Está claro, por ejemplo, que ninguna matriz puede tener un polinomio mínimo [matemático] x-1 [/ matemático] y un polinomio característico [matemático] ( x-1) (x-2). [/ matemáticas]

Para mostrar esto, necesitamos introducir algo llamado Jordan Block. El bloque [math] J_ {n} (\ lambda) [/ math] es la matriz n por n con [math] \ lambda [/ math] como cada entrada diagonal y 1 como cada entrada diagonal superior. El polinomio característico de [math] J_ {n} [/ math] es [math] (x- \ lambda) ^ {n} [/ math] y, por lo tanto, es el polinomio mínimo. Sin embargo, si tomamos una matriz de la forma [math] M = \ begin {pmatrix} J_ {n} (\ lambda) & 0 \\ 0 & J_ {m} (\ lambda) \ end {pmatrix} [/ math ]

Entonces M tiene un polinomio característico [matemático] (x- \ lambda) ^ {n + m} [/ matemático] pero un polinomio mínimo [matemático] (x- \ lambda) ^ {max (n, m)} [/ matemático]. De esta manera, podemos construir una matriz con polinomio charctersitic [math] \ Pi (x- \ lambda_ {i}) ^ {n_ {i}} [/ math] y polinomio mínimo [math] \ Pi (x- \ lambda_ {i}) ^ {k_ {i}} [/ math] donde [math] 0 <k_ {i} \ leq n_ {i} [/ math].