Para la ecuación diferencial [matemáticas] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + \ omega x = 0 [/ matemáticas]. ¿Cómo sabemos que las unidades de [math] \ omega [/ math] son ​​radianes?

Answer 1

Editar: no lo sé. Debieras. Usted ve que fue usted quien escribió la ecuación. Cuando tiene un problema de la vida real, todas las mediciones deben realizarse en algunas unidades. Una vez que escribes las ecuaciones estás en el ámbito de las matemáticas y las unidades ya no están presentes. Una vez que tenga su respuesta, en forma matemática, la reinterpretará en el ámbito de su problema particular.

Quizás quieras estudiar la vibración de un motor. Puede ser natural trabajar en revoluciones por minuto. Como los radianes son más convenientes para las funciones trigonométricas, es posible que prefiera convertir sus unidades a radianes por segundo. En electrónica a menudo hay un factor de [matemática] 2 \ pi [/ matemática] para convertir de Hertz a radianes / seg. Sería más simple usar radianes desde el principio, pero tal vez no sea tan natural para los usuarios.

Respuesta anterior:

No hay unidades, [math] \ omega [/ math] es solo un número. Como alguien más dijo, probablemente quisiste decir [matemáticas] \ omega y [/ matemáticas]. En ese caso, las soluciones son senos o cosenos. Por ejemplo, [math] sin (\ omega x) [/ math] satisface la ecuación [math] \ frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + \ omega y = 0 [/ math], pero solo si [math] \ omega [/ math] está en radianes (dentro de la función seno). Si piensa en la función seno como una función de un ángulo en grados, es muy malo hacer esto, limitar el uso de grados a trigonometría elemental, entonces debe escribir esta solución como [matemática] pecado (\ frac {180} { \ pi} \ omega x) [/ math].

Entonces [math] \ omega [/ math] no tiene unidades. Es solo si eliges interpretarlo como un ángulo que piensas que es la medida en radianes del ángulo.

En realidad, [math] x [/ math] tampoco tiene unidades. La ecuación es pura matemática. Solo cuando das una interpretación física de la ecuación surgen las unidades. Entonces, tal vez, [matemática] x [/ matemática] es un tiempo en segundos, en cuyo caso te mentí arriba, [matemática] \ omega [/ matemática] no es un ángulo en radianes, es una frecuencia angular en radianes por segundo. O si is [math] x [/ math] es una distancia en metros, [math] \ omega [/ math] tendría unidades radianes / metro. (Pero en realidad, los radianes, que son proporciones de medidas con las mismas unidades, son cantidades adimensionales).

Answer 2

Esta no es la ecuación para el movimiento armónico simple. El [math] \ omega [/ math] es un arenque rojo. Esta es una ecuación diferencial para una curva en el plano [matemático] xy [/ matemático].

Se nos da,

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left [\ dfrac {dy} {dx} \ right] + \ omega x = 0 \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ dfrac {d} {dx} \ left [\ dfrac {dy} {dx} \ right] = – \ omega x \ tag * {} [/ math]

Integrando wrt [math] x [/ math] en ambos lados de la ecuación,

[math] \ dfrac {dy} {dx} = – \ dfrac {\ omega x ^ 2} {2} + c \ tag * {} [/ math] donde [math] c [/ math] es una constante arbitraria.

Integrando una vez más la ecuación wrt [matemáticas] x [/ matemáticas],

[math] y = – \ dfrac {\ omega x ^ 3} {6} + cx + d \ tag * {} [/ math] donde [math] d [/ math] es una segunda constante arbitraria.

Y eso es todo, hecho.

Y finalmente, ¿cómo sabemos que las unidades para [math] \ omega [/ math] son ​​radianes? Nosotros no, porque no lo son!

PD. Aquí está el gráfico para un conjunto particular de valores [matemática] (\ omega, c, d) = (1, 3, 1) [/ matemática] ¡Parece una curva cúbica!

PPS Si el OP hizo un error tipográfico y realmente quiso decir [math] \ omega y [/ math] para [math] \ omega x [/ math], entonces verifique la respuesta dada por Awnon Bhowmik para la solución detallada y la explicación aquí: la respuesta de Awnon Bhowmik a Para la ecuación diferencial [matemática] \ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} + \ omega x = 0 [/ matemática]. ¿Cómo sabemos que las unidades de [math] \ omega [/ math] son ​​radianes?

Answer 3

Tenemos

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2 y} {dx ^ 2} + \ omega x = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Resolvamos esta ecuación diferencial.

La ecuación auxiliar viene dada por …

[matemáticas] m ^ 2 + \ omega = 0 \\ \ implica m ^ 2 = – \ omega \\ \ implica m = \ pm \ sqrt {\ omega} \\ \ implica y (x) = A \ sin \ sqrt {\ omega} x + B \ cos \ sqrt {\ omega} x \ tag * {} [/ math]

Estás afirmando el hecho de que [math] \ omega> 0 [/ math] y [math] \ omega [/ math] está en radianes. En consecuencia, esto implica que [math] \ sqrt {\ omega} x [/ math] no tiene dimensiones. Pero para que esto suceda, [math] x [/ math] tiene que ser adimensional.

Veamos la definición de [math] \ omega [/ math]

[matemáticas] \ omega = \ dfrac {\ theta} {t} = \ text {rad / sec.} \ tag * {} [/ matemáticas]

lo que significa que [math] x [/ math] tiene que tener la dimensión del tiempo.

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Déjame tomar una ruta diferente.

Recordemos la ley de Hooke:

La fuerza requerida para extender o comprimir un resorte, es directamente proporcional a la longitud de extensión / compresión. Simbólicamente, escribimos …

[matemática] F \ propto x \ text {(fuerza de extensión)} \ tag * {} [/ matemática]

Según la tercera ley de Newton, también tenemos

[matemáticas] F \ propto -x \ text {(fuerza de restauración)} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Trabajemos con la relación de la fuerza restauradora. Podemos escribir

[matemáticas] F = -kx \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

De la segunda ley del movimiento de Newton, tenemos [matemáticas] F = ma [/ matemáticas]

[matemáticas] F = -kx \\ \ implica ma = -kx \\ \ implica a = – \ dfrac kmx \\ \ implica \ boxed {a \ propto -x} \ tag * {} [/ math]

Esta es la condición para el movimiento armónico simple .

Usando un poco de cálculo, podemos reescribir esto como

[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = – \ dfrac kmx \ tag * {} [/ matemáticas]

Del capítulo de movimiento circular, recuerde que

[math] a = – \ omega ^ 2 r [/ math], ahora solo use [math] r = x [/ math] ya que esto es lo que estamos usando para el desplazamiento.

Compara las ecuaciones

[matemáticas] a = – \ omega ^ 2 x [/ matemáticas] y [matemáticas] a = – \ dfrac kmx [/ matemáticas] para obtener

[matemáticas] \ omega ^ 2 = \ dfrac km \ implica \ omega = \ sqrt {\ dfrac km} \ tag * {} [/ matemáticas]

También tenga en cuenta que la velocidad angular se puede definir como

[matemáticas] \ omega = \ dfrac {2 \ pi} {T} [/ matemáticas], donde [matemáticas] T [/ matemáticas] es el período de rotación

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Usando todas las cosas discutidas anteriormente, la ecuación correcta tiene que ser

[matemáticas] \ boxed {\ dfrac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} + \ omega ^ 2 x = 0} \ tag * {} [/ math]

Resuelva esta ecuación diferencial y coincidirá con la física del oscilador armónico simple.

Answer 4

La unidad de [math] \ omega [/ math] depende de las unidades de [math] x [/ math] y [math] y [/ math]. Si [math] x [/ math] y [math] y [/ math] no tienen dimensiones, entonces [math] \ omega [/ math] también debe ser sin dimensiones, es decir, es solo un número como 1 o [math] \ pi [ /matemáticas]. Si en algún problema físico o geométrico particular [matemática] \ omega [/ matemática] corresponde a un ángulo, entonces en ese caso generalmente se especificaría en radianes. Sin embargo, los radianes mismos también son adimensionales, por lo que incluso el uso de radianes solo respeta el hecho de que es un ángulo.

Answer 5

La unidad natural es el radián. La circunferencia contiene 2pi radianes. w> 0

La solución es y = A.Sin (wx) + B.Cos (wx), donde wx es el ángulo en radianes, pero x es una variable adimensional.

Answer 6

No es obvio. X tiene unidades en su problema, y ​​por análisis dimensional [math] \ omega [/ math] tiene unidades 1 / X ^ 2.