¿Cuál es la prueba de las ecuaciones cinemáticas?

Answer 1

La respuesta es, como siempre en física clásica:

Cálculo y las leyes de Newton

Si no ha realizado ningún cálculo, solo tendrá que aceptar esta fórmula para la integración polinómica:

[matemáticas] \ int {x ^ n dx} = \ frac {1} {n + 1} x ^ {n + 1} + C [/ matemáticas]

Donde [math] C [/ math] es una constante arbitraria.

La integración puede considerarse como “encontrar el área debajo de una curva”, y es la operación inversa de la diferenciación:

[matemáticas] \ int {\ frac {df (x)} {dx} dx} = f (x) [/ matemáticas]

(Lo que, por supuesto, significa que [matemáticas] \ frac {d} {dx} x ^ n = nx ^ {n-1} [/ matemáticas])

Como digo, si nunca antes has visto cálculo, eso es lo básico.

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Ahora, pasamos a la segunda ley de Newton, que en el término de masa constante establece que:

[matemáticas] \ vec {F} = m \ vec {a} [/ matemáticas]

Ahora.

¿Qué es la aceleración?

La aceleración es la tasa de cambio de velocidad, que es en sí misma, la tasa de cambio de posición.

La “tasa de cambio” establece el sonido de nuestra alarma de diferenciación.

La velocidad es la derivada de la posición, con respecto al tiempo:

[matemáticas] \ vec {v} = \ frac {d \ vec {x}} {dt} [/ matemáticas]

Y la aceleración es la derivada de la velocidad y, por lo tanto, la segunda derivada de la posición:

[matemáticas] \ vec {a} = \ frac {d \ vec {v}} {dt} = \ frac {d ^ 2 \ vec {x}} {dt ^ 2} [/ matemáticas]

Lo que significa que podemos escribir las leyes de Newton como:

[matemáticas] \ boxed {\ frac {d ^ 2 \ vec {x}} {dt ^ 2} = \ frac {\ vec {F}} {m}} [/ math]

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Okay.

Todo muy agradable: las ecuaciones generales de movimiento para objetos en la física newtoniana.

¿Pero cómo nos ayuda esto?

Bueno, las ecuaciones cinéticas son las ecuaciones de movimiento para una aceleración constante.

Esto significa:

[matemáticas] \ frac {d ^ 2 \ vec {x}} {dt ^ 2} = [/ matemáticas] const

Para la gravedad, esta constante es igual a [math] -g = -9.81ms ^ {- 2} [/ math], porque [math] F_G = – [/ math] [math] m \ times g [/ math], y el signo menos viene porque la gravedad te empuja hacia abajo.

Sin embargo, trataré con una aceleración constante general [matemáticas] a. [/ Matemáticas]

También podemos soltar la notación vectorial, si nos limitamos al movimiento 1D.

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Ok, integremos!

[matemáticas] \ int {\ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} dt} = \ frac {dx} {dt} + C [/ matemáticas]

Ese es el lado izquierdo de la ecuación, y recordamos que esto también es:

[matemáticas] \ frac {dx} {dt} + C = V (t) + C [/ matemáticas]

Ahora hagamos el lado derecho:

[matemáticas] \ int {a dt} = en + D [/ matemáticas]

Ponemos estos juntos (y absorbemos C y D juntos)

[matemáticas] V (t) = en + E [/ matemáticas]

¿Qué es [matemáticas] E [/ matemáticas]?

Bueno, si establecemos [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas], entonces vemos:

[matemáticas] V (0) = E [/ matemáticas]

¡E es solo la velocidad inicial con la que comenzamos! Llamamos a esto velocidad inicial [matemáticas] u [/ matemáticas]

[matemáticas] \ boxed {V (t) = \ frac {dx} {dt} = u + at} [/ math]

¡Esta es la primera ecuación cinemática que reconocemos!

¡Buen comienzo!

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Nos integramos nuevamente y encontramos:

[matemáticas] \ int {\ frac {dx} {dt} dt} = x (t) + A [/ matemáticas]

Luciendo bien….

[matemáticas] \ int {(u + at) dt} = ut + \ frac {at ^ 2} {2} + B [/ matemáticas]

Donde usamos nuestra fórmula de integración de arriba.

Por lo tanto:

[matemáticas] X (t) = ut + \ frac {a} {2} t ^ 2 + G [/ matemáticas]

Que es g

Nuevamente, estableciendo [math] t = 0 [/ math], vemos que [math] G [/ math] es solo la posición original [math] x_0 [/ math]!

Siempre podemos cambiar nuestra notación para que consideremos “la distancia recorrida desde t = 0”, lo que significa que podemos deshacernos de esta constante:

[matemáticas] \ en caja {\ Delta x = ut + \ frac {a} {2} t ^ 2} [/ matemáticas]

¡Esta es la segunda ecuación cinemática!

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Podemos seguir adelante, realizar sustituciones, etc., pero ya entiendes, de aquí vienen.

Y en caso de que no creas que he recuperado la ecuación en los detalles, usemos nuestra ecuación final para encontrar cuánto tiempo tomaría caer una distancia “[matemáticas] h [/ matemáticas]”, bajo gravedad.

• La velocidad inicial es cero – [matemática] u = 0 [/ matemática]
• Gravedad – [matemáticas] a = -g [/ matemáticas]
• Cayendo, entonces [matemáticas] \ Delta x = -h [/ matemáticas]

Enchufando:

[matemáticas] – h = 0 \ veces t – \ frac {g} {2} t ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemáticas] t_ {fall} = \ sqrt {\ frac {2h} {g}} [/ matemáticas]

¡Qué es exactamente lo que dijiste en los detalles!

Answer 2

Que yo sepa, no hay pruebas.

La física no es como las matemáticas donde se necesitan pruebas de esa manera.

La física se basa en derivaciones que se derivan del análisis lógico de situaciones del mundo real, con varias reglas predefinidas.

Para un objeto que cae, comienza con la regla de que en caída libre se acelera a una velocidad de ‘g’ m / s / s. A partir de ahí, puede calcular matemáticamente dónde estará después de un tiempo dado porque solo está mirando un objeto simple que se mueve con una aceleración dada.

Matemáticamente dirías:

Aceleración = [matemáticas] g [/ matemáticas]

Entonces, la velocidad después de un tiempo dado es [matemática] v (t) = gt [/ matemática]

Ahora debemos recordar que la velocidad se define como la tasa de cambio de distancia, por lo que [math] v (t) = \ frac {dL} {dt} [/ math]

Así que ahora podemos sustituir eso en la primera ecuación para obtener

[matemáticas] \ frac {dL} {dt} = gt [/ matemáticas]

Entonces, para obtener L, solo necesitamos realizar una integración:

[matemáticas] dL = gt \ dt [/ matemáticas]

[matemáticas] L = \ displaystyle \ int ^ {T} _ {0} gt \ dt [/ matemáticas]

[matemáticas] L = [g \ frac {t ^ 2} {2}] ^ {T} _ {0} [/ matemáticas]

[matemáticas] L = g \ frac {T ^ 2} {2} [/ matemáticas]

y esa es la derivación para la ecuación que diste.

Pero recuerde, es una derivación, no una prueba.

Las pruebas se usan en matemáticas puras. Por ejemplo, una persona podría decir: “¿Cómo sabes qué es una integral?” Y ahí es cuando comienzas a hacer pruebas.

La física generalmente asume que las matemáticas que se están utilizando ya han sido probadas.

Para concluir: las matemáticas se trata de pruebas; La física se trata de derivaciones.

Answer 3

Todos están usando cálculo aquí, lo cual es comprensible. En caso de que no haya entendido lo que significan todos esos signos integrales espeluznantes, aquí va una prueba libre de cálculo, aunque menos formal y menos general, y algo de intuición detrás de esto. Supongo que se siente cómodo con el álgebra y conoce la Segunda Ley de Newton.

La segunda ley de Newton establece:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ vec F_i = m \ vec a [/ matemáticas]

Donde [math] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ vec F_i [/ ​​math] es la fuerza neta sobre una partícula de masa constante [math] m [/ math], y [math] \ vec a [/ math] es la aceleración de la partícula. Además, tenemos la definición de velocidad promedio [matemática] \ vec v [/ matemática] y aceleración promedio [matemática] \ vec a [/ matemática] en un intervalo de tiempo [matemática] \ Delta t = t_1 – t_0 [/ matemática] :

[matemáticas] \ vec a = \ displaystyle \ frac {\ Delta \ vec v} {\ Delta t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec v = \ displaystyle \ frac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} [/ matemáticas]

Podemos preguntar qué sucede cuando [math] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ vec F = 0 [/ math]. Echamos un vistazo a la primera ecuación y nos damos cuenta:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ vec F_i = 0 \ implica m \ vec a = 0 [/ matemáticas]

Si suponemos que estamos tratando con un objeto con una masa distinta de cero, entonces:

[matemáticas] m \ vec a = 0 \ implica \ vec a = 0 [/ matemáticas]

Y según la definición de aceleración promedio, [matemática] \ Delta \ vec v = 0 \ implica \ vec v (t) = constante [/ matemática].

Usando este resultado con la definición de velocidad promedio:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} = constante = \ vec v [/ matemáticas]

Multiplicando ambos lados por [matemática] \ Delta t [/ matemática]:

[matemáticas] \ Delta \ vec x = \ vec v \ Delta t [/ matemáticas]

Expandiendo [math] \ Delta \ vec x [/ math] a [math] \ vec x – \ vec x_0 [/ math] y asumiendo [math] \ Delta t = t – 0 [/ math], llegamos a la primera ecuación cinemática conocida:

[matemáticas] \ begin {array} {| c |} \ hline \ vec x (t) = \ vec x_0 + \ vec vt \\ \ hline \ end {array} [/ math]

Que tiene este gráfico simplificado general (tenga cuidado aquí, ¡recuerde que todas esas cosas son vectores!):

(Sí, lo hice en Paint; cualquier recomendación de software matemático gratuito será apreciada)

Cambiemos nuestra suposición inicial y digamos [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ vec F_i = constante [/ matemáticas], solo para jugar. Por lo que Newton nos dijo:

[matemáticas] m \ vec a = constante \ implica \ vec a = constante [/ matemáticas]

Aplicando el mismo proceso que hicimos antes a la definición de velocidad promedio, pero ahora a la definición de aceleración promedio:

[matemáticas] \ vec v (t) = \ vec v_0 + \ vec en [/ math]

Lo cual es bastante simétrico con nuestro primer resultado. Tenga en cuenta que, en este caso, [math] \ vec v (t) \ neq \ displaystyle \ frac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} [/ math], porque [math] \ vec v [/ math] Ahora está cambiando en el tiempo. La velocidad promedio [matemáticas] \ vec v_a [/ matemáticas] ahora viene dada por [matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ vec v + \ vec v_0} {2} [/ matemáticas] (recuerde, es un promedio; usted sabe cómo para hacer eso! Tenga en cuenta que esto solo funciona para la aceleración constante). Ahora, podemos usar la definición de velocidad promedio:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {\ vec v + \ vec v_0} {2} = \ frac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} \ implica \ vec v = 2 \ displaystyle \ frac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} – \ vec v_0 [/ math]

Por conveniencia, suponga [matemáticas] \ Delta t = t – 0 [/ matemáticas]. Además, recuerde [math] \ Delta \ vec x = x – x_0 [/ math].

Tenemos dos expresiones para [math] \ vec v [/ math] ahora:

[matemáticas] \ vec v (t) = \ vec v_0 + \ vec en [/ math]

Y:

[matemáticas] \ vec v = 2 \ displaystyle \ frac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} – \ vec v_0 [/ matemáticas]

Reemplazando, obtenemos:

[matemáticas] 2 \ dfrac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} – v_0 = \ vec v_0 + \ vec en [/ math]

[matemáticas] 2 \ dfrac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} = 2 \ vec v_0 + \ vec en [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ Delta \ vec x} {\ Delta t} = \ vec v_0 + \ frac {1} {2} \ vec en [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Delta \ vec x = \ vec v_0 t + \ frac {1} {2} \ vec en ^ 2 [/ matemáticas]

¡Y finalmente!

[matemáticas] \ begin {array} {| c |} \ hline \ vec x (t) = \ vec x_0 + \ vec v_0 t + \ frac {1} {2} \ vec at ^ 2 \\ \ hline \ end {matriz} [/ matemáticas]

La ecuación que pones en los detalles es para [matemáticas] | \ vec x_0 | = 0 [/ matemática], [matemática] \ vec a = g [/ matemática] y [matemática] | \ vec v_0 | = 0 [/ matemáticas].

La gráfica de esa función es una parábola:

(Crédito de la imagen: Google Images. La imagen se ha modificado digitalmente posteriormente mediante un software de edición multimedia)

¡Espero que esto ayude!

Editar: debe tener mucho cuidado con esta derivación, hay algunas cosas implícitas que están sucediendo. Si tiene alguna pregunta, me complacerá responderla en los comentarios.

Answer 4

En esa ecuación estamos asumiendo una aceleración constante (gravitacional). La gravedad no es constante, pero para cualquier propósito práctico en la superficie de la Tierra, la gravedad constante es lo suficientemente buena. Sabemos que la aceleración gravitacional en (o cerca) de la superficie de la Tierra es [matemática] g = 9.8 \ \ frac {m} {s ^ 2} [/ matemática]

Además, sabemos que la aceleración es la primera derivada de la velocidad y la segunda derivada de la posición (ambas con respecto al tiempo).

Tenemos nuestra función de aceleración constante

[matemáticas] a (t) = g [/ matemáticas]

Integre con respecto al tiempo una vez para obtener la velocidad y dos veces para obtener la posición (o distancia).

[matemáticas] a = \ frac {dv} {dt} = g [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_ {v_0} ^ {v} dv = v – v_0 = \ int_ {t = 0} ^ {t} g dt = gt [/ matemáticas]

[matemáticas] v = gt + v_0 [/ matemáticas]

Del mismo modo integramos la velocidad nuevamente

[matemáticas] v = \ frac {dx} {dt} = gt + v_0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int_ {x_0} ^ {x} dx = x – x_0 = \ int_ {t = 0} ^ {t} (gt + v_0) dt = \ frac {1} {2} gt ^ 2 + v_0 t [/matemáticas]

Resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {1} {2} gt ^ 2 + v_0 t + x_0 [/ matemáticas]

En su caso, está dejando caer el objeto del reposo y configurando su posición inicial en 0. Por lo tanto, [math] v_0 = 0 [/ math] y [math] x_0 = 0 [/ math]

Esto le da [matemáticas] x = \ frac {1} {2} gt ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 5

Las ecuaciones cinemáticas bien conocidas que describen el movimiento del objeto se dan como,

d = Vi * t +1/2 a * t ^ 2, V ^ 2 (f) = V ^ 2 (i) + 2 * a * d, V (f) = V (i) + a * t,

d Vav t = [V (i) + V (f)] / 2 * t

Para comprender bien estas ecuaciones con su significado físico, lea sus detalles físicos en Mecánica clásica, ya sea por Goldestein o por Griffith. Buena suerte.

Su información de dar simplemente sin sentido.

Answer 6

① Supongo que eres un chico de secundaria.

② Suponiendo solo aceleración gravitacional g.

③ Suponga dos fórmulas básicas:

(i) aceleración = cambio en velocidad / tiempo.

g = (vu) / t

vu = gt …… (A) …… v = u + gt ↙

(ii) Velocidad promedio = distancia recorrida / tiempo

½ (v + u) = d / t

v + u = 2d / t ……… (B)

④ A × B →

(vu) (v + u) = 2 gd

v²-u² = 2gd ■■

⑤ Eliminando “v”, usando (A) ↙

(u + gt) ²-u² = 2 gd

g²t² + 2ugt = 2gd… ÷ 2g →

½gt² + ut = d

d = ut + ½gt² ■■ (fórmula general)

Al caer, velocidad inicial u = 0 →

d = ½gt² ☜☜

Answer 7

Tendrías razón si el tiempo llegara en trozos de 1 segundo.

Su expresión es para fragmentos de 1 segundo. Si lo divide en fragmentos de delT,

entonces la distancia recorrida es (n ^ 2 + n) / 2 * delT ^ 2 * g donde n = T / delT ——— eq1

es decir (T / delT ^ 2 + T / delT) * delT ^ 2 * g ——- eqA

Desviando un poco el tema, como una comprobación de eqA, si delT = 1, entonces se reduce a su expresión (T ^ 2 + T) / 2 * 1 * g.

Volviendo, ahora cuando delT se vuelve minúsculamente pequeño, la expresión anterior se reduce a T ^ 2/2 * g.

Entonces, la verdadera captura es que delT se vuelve minúsculo, n aumenta en eq1, pero n ^ 2 aumenta aún más rápidamente, por lo tanto, puede descuidar n.

Y, por último, GRACIAS por la pregunta, ya que sugiere una muy buena manera de demostrar la diferencia entre discreto y continuo. Esta es la primera vez que marca una pregunta.