El origen es una esquina de un cuadrado y dos de sus lados están dados por 2x + y = 0 y 2x + y = 3. ¿Cuáles son las ecuaciones de los otros dos lados?

Answer 1

Las rectas son paralelas. Como es un cuadrado, este tiene los cuatro lados iguales y todos los ángulos en ángulo recto. Como pase por cero. Porque si x es cero y también en la primera ecuación, entonces hay una línea perpendicular a 2x + y = 0 que pasa por cero. La distancia entre las líneas es la longitud de un lado del cuadrado. Para conocer esta distancia, usamos la fórmula para la distancia entre dos líneas que es d = | axo + byo-d | / (a ​​^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) donde a, b son los coeficientes de X y Y. Usé cero d = | 0 * 2 + 1 * 0–3 | / (4 + 1) ^ (1/2) = 3 / (5) ^ (1/2) = (3 (5) ^ (1 / 2)) / 5 = 1.34. Podemos construir un círculo que tenga un centro en el cero y un radio de este valor (1.34) Luego tenemos x ^ 2 + y ^ 2 = (1.34) ^ 2 Ahora necesitamos saber los puntos de inerxección de este circuito con la línea 2x + y = 0 Por Geogebra (NO ES GRATUITO) Veo que los puntos son (0.6, -1.2) y (-0.6, 1.2) (simétricos). Puede aislar la variable y e igual a y = -2x si desea una solución analítica. Para que los puntos pasen líneas perpediculares a 2x + y = 0 porque dicho. Esas son las respuestas. Hay dos pares de respuestas.

El sloop de la línea perpendicular a 2x + y = 0 es sloop * sloopperpendicular = -1

(y = -2x, y = mx + b) sloop perpendicular * -2 = -1 sloop perpendicular = 1/2

Puedes usar la ecuación de sloop de punto para encontrar las tres líneas. y-yo = sloop (x-xo)

if (xo, yo) = (0,0) entonces y = 1 / 2x if (xo, yo) = (0.6, -1.2) y + 1.2 = 1/2 (x-0.6) y = x / 2–1.5

si (xo, yo) = (- 0.6, 1.2) entonces y-1.2 = 1/2 (x + 0.6) y = x / 2 + 1.5

Tenemos dos pares de solución como dije. El primer y = x / 2, y = x / 2–1.5

El segundo: y = x / 2, y = x / 2 + 1.5

Answer 2

[matemática] 2x + y = 0 [/ matemática] y [matemática] 2x + y = 3 [/ matemática] son ​​los dos lados paralelos. ya que (0,0) es una esquina por la que pasa el tercer lado (0,0) y es perpendicular a las líneas dadas. la línea perpendicular a [matemática] 2x + y = 0 [/ matemática] está dada intercambiando coeficientes de x e y cambiando el signo de uno de ellos.

Entonces obtenemos [matemáticas] x-2y = 0 [/ matemáticas]

el 4º lado es paralelo a él dice [matemáticas] x-2y + c = 0 [/ matemáticas]

Distancia de (0,0) desde [matemática] 2x + y-3 = 0 [/ matemática] [matemática] \ dfrac {3} {\ sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2}} = \ dfrac {3} { \ sqrt 5} [/ matemáticas]

La distancia entre (0,0) y x-2y + c = 0 debe ser la misma.

[matemáticas] \ dfrac {| c |} {\ sqrt5} = \ dfrac {3} {\ sqrt 5} [/ matemáticas]

Esto da [matemáticas] c = \ pm 5 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la ecuación del 4º lado es [matemática] x-2y \ pm 3 = 0 [/ matemática]

Answer 3

* A2A

[matemáticas] \ begin {cases} y = -2x \\ y = -2x + 3 \ end {cases} \ tag * {} [/ math]

Requerimos una línea perpendicular a [math] y = -2x [/ math], que pasa por [math] (0,0) [/ math]

Ecuación de línea perpendicular:

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {2} x \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Ahora, requerimos el punto de intersección con la línea perpendicular y [matemáticas] 2x + y = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {cases} y = \ dfrac {1} {2} x \\ y = -2x + 3 \ end {cases} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] \ begin {ecuación} \ begin {split} \ implica \ dfrac {1} {2} x & = – 2x + 3 \\\ implica x & = – 4x + 6 \\\ implica5x & = 6 \\ \ implica x & = \ dfrac {6} {5} \\ \ implica y & = \ dfrac {1} {2} x = \ dfrac {3} {5} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ matemáticas]

Tenemos nuestros puntos de intersección [matemática] (x, y) = \ left (\ dfrac {6} {5}, \ dfrac {3} {5} \ right) [/ math]

Necesitamos la distancia de este punto desde el origen.

[matemáticas] d = \ sqrt {\ left (\ dfrac {6} {5} \ right) ^ 2 + \ left (\ dfrac {3} {5} \ right) ^ 2} = \ pm \ dfrac {3 \ sqrt {5}} {5} \ tag * {} [/ math]

---

[matemáticas] \ sqrt {(x-0) ^ 2 + (y-0) ^ 2} = \ dfrac {3 \ sqrt {5}} {5} \\ \ implica x ^ 2 + y ^ 2 = \ dfrac {9} {5} \\ \ implica x ^ 2 + (- 2x) ^ 2 = \ dfrac {9} {5} \\ \ implica 5x ^ 2 = \ dfrac {9} {5} \\ \ implica x ^ 2 = \ dfrac {9} {25} \\ \ implica x = \ pm \ dfrac {3} {5} \ tag * {} [/ math]

Cuando [matemáticas] x = \ dfrac {3} {5}, y = -2x = – \ dfrac {6} {5} [/ matemáticas]

Cuando [matemáticas] x = – \ dfrac {3} {5}, y = -2x = \ dfrac {6} {5} [/ matemáticas]

---

[matemáticas] (x, y) = \ left (\ dfrac {3} {5}, – \ dfrac {6} {5} \ right) [/ math]

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {2} x + b \\ \ implica – \ dfrac {6} {5} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {5} + b \\ \ implica b = – \ dfrac {3} {2} \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] (x, y) = \ left (\ dfrac {3} {5}, – \ dfrac {6} {5} \ right) [/ math]

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {2} x + b \\ \ implica \ dfrac {6} {5} = – \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {3} {5} + b \\ \ implica b = \ dfrac {3} {2} \ tag * {} [/ math]

Ahora, solo haz esto …

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {2} x \ etiqueta {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {2} x- \ dfrac {3} {2} \ tag {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ dfrac {1} {2} x + \ dfrac {3} {2} \ tag {3} [/ matemáticas]

Estas son las líneas que requerimos.

Answer 4

Para que una línea sea perpendicular a otra, la pendiente debe ser el recíproco negativo.

Podemos ver que las pendientes de las 2 líneas dadas son -2.

Por lo tanto, la pendiente de las otras 2 líneas (que son perpendiculares a esas 2) tiene que ser 1/2.

Una de esas líneas tiene que pasar por 0,0 porque se dijo que era una esquina, así que primero podemos resolver esa fórmula.

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 0 = \ frac {1} {2} (0) + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle c = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto, una de las fórmulas es:

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} x [/ matemáticas]

Imaginar la otra línea es la parte difícil de la OMI.

Como la forma es un cuadrado, los lados deben tener la misma longitud.

Para ayudar a determinar la longitud de este lado, usaré las intersecciones de las 2 primeras ecuaciones con esta tercera que acabo de encontrar.

La primera intersección es obviamente (0,0) donde [matemáticas] y = -2x [/ matemáticas] se une a [matemáticas] y = \ frac {1} {2} x [/ matemáticas]

La otra intersección donde [matemáticas] y = -2x + 3 [/ matemáticas] se une a [matemáticas] y = \ frac {1} {2} x [/ matemáticas] requerirá algo de álgebra.

[matemáticas] \ displaystyle 2x + y = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle 2x + \ frac {1} {2} x = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {5} {2} x = 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {6} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {6} {5} = \ frac {6} {10} = \ frac {3} {5} [/ matemáticas]

Ahora calcularé la distancia desde el origen hasta ese punto:

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {\ left (\ frac {6} {5} -0 \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {3} {5} -0 \ right) ^ 2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {\ frac {36} {25} + \ frac {9} {25}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {\ frac {45} {25}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {3 \ sqrt {5}} {5} [/ matemáticas]

Ahora necesito encontrar un punto en la línea [matemáticas] y = -2x [/ matemáticas] que esté a la misma distancia del origen.

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {(y-0) ^ 2 + (x-0) ^ 2} = \ frac {3 \ sqrt {5}} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {(- 2x-0) ^ 2 + (x-0) ^ 2} = \ frac {3 \ sqrt {5}} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ sqrt {4x ^ 2 + x ^ 2} = \ frac {3 \ sqrt {5}} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x \ sqrt {5} = \ frac {3 \ sqrt {5}} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {3 \ sqrt {5}} {5 \ sqrt {5}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {3} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = -2 \ cdot \ frac {3} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {-6} {5} [/ matemáticas]

Pero sabemos que también debe haber otro punto que esté igualmente lejos del origen, y dado que la línea pasa a través del origen, el otro punto debe ser el negativo de las coordenadas y y x.

Por lo tanto, el otro punto sería:

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-3} {5} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {6} {5} [/ matemáticas]

Por lo tanto, hay 2 posibilidades para la ecuación del lado final.

La primera posibilidad:

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {-6} {5} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {3} {5} + c [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {-6} {5} = \ frac {3} {10} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle c = \ frac {-15} {10} = \ frac {-3} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} x – \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

La segunda posibilidad:

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} x + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {6} {5} = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {-3} {5} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {6} {5} = \ frac {-3} {10} + c [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle c = \ frac {15} {10} = \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle y = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

La línea roja es [matemática] 2x + y = 0 [/ matemática]

La línea azul es [matemática] 2x + y = 3 [/ matemática]

La línea verde es [matemáticas] y = \ frac {1} {2} x [/ matemáticas]

La línea púrpura es [matemática] y = \ frac {1} {2} x + \ frac {3} {2} [/ matemática]

La línea naranja es [matemáticas] y = \ frac {1} {2} x – \ frac {3} {2} [/ matemáticas]

Answer 5

Simplemente gire los lados paralelos dados (líneas rojas)

[matemáticas] 2x + y = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2x + y = 3 [/ matemáticas]

mediante la sustitución de las variables en la ecuación de la siguiente manera:

[matemáticas] (x, y) \ flecha derecha (y, -x) [/ matemáticas]

Esto produce las líneas azules:

[matemáticas] 2y + -x = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2y + -x = 3 [/ matemáticas]

Answer 6

Este “cuadrado” tiene 2 líneas que son paralelas, lo que significa que las otras dos líneas serán perpendiculares a estas y paralelas entre sí …

Las primeras 2 líneas en forma de y = mx + b son y = -2x, y = -2x + 3

Las líneas perpendiculares serán y = (1/2) x + b

Por supuesto, la primera línea tendrá que cruzarse en el origen como la esquina preestablecida de este cuadrado.

y = x / 2

La siguiente línea podría estar arriba o abajo, pero ¿qué tan lejos?

La pendiente de -2 fue movida por 3 en la dirección y +.

La pendiente de 1/2 puede moverse en 3 en la dirección x [matemática] \ pm [/ matemática].

[matemáticas] y = \ frac {x \ pm3} {2} [/ matemáticas]

Esto se simplifica a cualquiera

[matemáticas] y = \ frac {x} {2} +1.5 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] y = \ frac {x} {2} -1.5 [/ matemáticas]

Answer 7

Vea la solución provista por Awnon Bhowmik. Está muy bien presentado.