Cómo escribir las diferentes formas de ecuaciones de líneas en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]

Answer 1

Entonces, has descubierto que la ecuación estándar de una línea [math] ax + by = c [/ math] no se traduce muy bien en [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math].

Para todas estas ecuaciones necesitas saber dos cosas. Un punto en la línea [matemática] P = (x_0, y_0, z_0) [/ matemática]. Y la dirección en que la línea apunta [math] \ mathbf u = (a, b, c) [/ math]

Ecuación vectorial de una línea:

[matemática] L: (x, y, z) = \ mathbf ut + P \\ (a, b, c) t + (x_0, y_0, z_0) [/ math]

Encontramos un punto en la línea y le agregamos el conjunto de vectores que apuntan en la dirección correcta.

Ecuación paramétrica de una línea:

[matemáticas] x = en + x_0 \\ y = bt + y_0 \\ z = ct + z_0 [/ matemáticas]

Esto se sigue directamente de la ecuación del vector. Separe la ecuación vectorial para cada componente.

Ecuaciones simultáneas de una línea.

[matemáticas] \ frac {x-x_0} {a} = \ frac {y-y_0} {b} = \ frac {z-z_0} {c} [/ matemáticas]

Y a partir de las ecuaciones paramétricas, aislar t en cada uno y establecerlos todos iguales entre sí.