Cómo resolver senx y ” = 2y, dado que y = cot x es una solución de la ecuación

Answer 1

[math] y = \ cot x [/ math] no es una solución.

[matemáticas] \ sin x y ” = \ sin x (2 \ cot x \ csc ^ 2 x) \ ne 2 \ cot x [/ matemáticas]

Si su diferencia de ecualización fue:

[math] \ sin ^ 2 x y ” = 2y [/ math] entonces [math] y = \ cot x [/ math] es una solución.

¿Y cómo encontrarías una solución general?

Diría, suponga que [math] y = u \ cot x [/ math] es una solución.

[matemáticas] \ sin ^ 2 x (u ” \ cot x – 2u ‘\ csc ^ 2 x + 2u \ csc ^ 2 x \ cot x) = 2 u \ cot x \\ u’ ‘\ sin x \ cos x – 2u ‘= 0 \\ u’ ‘= \ frac {2u’} {\ cos x \ sin x} [/ math]

Sustituyendo [math] v = u ‘[/ math] y nuestro problema de segundo orden se convierte en un problema de primer orden.

[matemáticas] \ frac {v ‘} {v} = \ frac {4} {\ sin x \ cos x} \\ \ ln v = 2 \ ln \ tan x + C \\ v = C \ tan ^ 2 x \\ u ‘= C (1+ \ sec ^ 2 x) \\ u = Cx + C \ tan x + D \\ y = C (x \ cot x + 1) + D \ cot x [/ math]

Answer 2

Primero, asegúrese de tener la ecuación correcta. Creo que te refieres a usar la ecuación

[matemática] \ sin ^ 2 (x) y ” = 2y. [/ matemática]

Ahora, si tiene una solución [matemática] y_1 (x), [/ matemática] busque otra solución de la forma [matemática] y_2 = u (x) y_1 (x). [/ Matemática] Tomar dos derivadas da [matemática ] y_2 ” = u ” (x) y_1 (x) + 2u ‘(x) y_1’ (x) + u (x) y_1 ” (x). [/ math] Conecte este nuevo valor de [math] y_2 [/ math] y [math] y_2 ” [/ math] en su ecuación y tendrá una nueva ecuación donde los términos que involucran [math] u (x) [/ math] se cancelan y queda con [math ] u ‘(x) [/ math] y [math] u’ ‘(x). [/ math] Realice la sustitución [math] v (x) = u’ (x), v ‘(x) = u’ ‘(x) [/ math] y resuelva para [math] v (x), [/ math] luego integre para recuperar [math] u (x), [/ math] eligiendo las constantes de integración que sean más convenientes.