Cómo resolver esta ecuación analíticamente e ^ (2x) + ln (x) = 0

[matemáticas] x ≈ 0.215 [/ matemáticas] para hacerlo analíticamente, tomando los primeros 100 términos de la serie. Y luego resuelva para x en esa ecuación.
Has descubierto que el valor debe ser 0.21 * algo *, ahora para encontrar ese algo, puedes usar esta técnica, considero que es muy útil resolver para x.
En este proceso, primero pone el valor 0.21 en la x, la expresión da un valor -ve, no importa cuán pequeño sea, pase al siguiente dígito y continuará hasta el dígito después del cual obtendrá un positivo valor.
Deja que te enseñe:-
e ^ (2 * 0.214) + ln (0.214) da un valor -ve, así que nos movemos al último dígito, y encontramos que e ^ (2 * 0.215) + ln (0.215) da un valor + ve, entonces estamos asegúrese de que el valor de x esté entre 0.214 y 0.215, por lo que comenzamos poniendo x = 0.2140, luego 0.2141, luego 0.2142, y continuamos hasta obtener un valor + ve. Si continuamos así, obtendríamos casi un buen valor aproximado, como obtuve, [matemáticas] x ≈ 0.2149818436460441 [/ matemáticas].

No puedo, y hay muchos problemas que no podemos resolver analíticamente. Sin embargo, podemos encontrar una solución aproximada. Tanto e ^ (2x) como ln (x) son funciones de aumento monotónico. Deje f (x) = e ^ (2x) + ln (x), luego f (x = 0) -> infinito negativo; f (x = 1) = e ^ 2> 0, por lo que solo hay una solución real entre 0 y 1.

Pruebe f (x = 0.5) = e-ln (2), ya que ln (2) 0, entonces la solución está entre 0 y 0.5. Pruebe f (x = 0.25) = sqrt (e) – 2 * ln (2) ~ 0.262, entonces la solución está entre 0 y 0.25. Podemos continuar haciendo esta iteración, luego encontrar la solución numérica con la precisión deseada. Ahora, tenemos un buen control del rango de la raíz. Se puede aplicar el método analítico utilizado para la aproximación.

Deje [math] x = 1/4 -t, 1/4> t> 0, [/ math] entonces la ecuación se convierte en

[matemáticas] \ sqrt {e} \ cdot e ^ {- 2t} + \ ln (1-4 t) – 2 \ ln 2 = 0 [/ matemáticas]

Usando la expansión Taylor,

[matemáticas] e ^ x = 1 + x + x ^ 2/2 + …, [/ matemáticas] [matemáticas] \ ln (1-x) = -xx ^ 2/2 [/ matemáticas]

El orden inicial da la ecuación aproximada como

[matemáticas] (\ sqrt {e} -2 \ ln 2) -2 (\ sqrt {e} +2) \ cdot t = 0 [/ matemáticas]

entonces,

[matemáticas] t = \ frac {\ sqrt {e} -2 \ ln 2} {2 (\ sqrt {e} +2)} \ aprox 0.035962 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] x \ aproximadamente 0.25-0.035962 = 0.214038 [/ matemáticas]

Comparando con la solución numérica exacta 0.214982 …, no está mal. Si se mantiene la expansión de segundo orden, la ecuación aproximada introduce un término cuadrático [matemático] t ^ 2, [/ matemático]

[matemáticas] (\ sqrt {e} -2 \ ln 2) -2 (\ sqrt {e} +2) \ cdot t +2 (\ sqrt {e} -4) \ cdot t ^ 2 = 0 [/ matemáticas ]

resolviendo esta ecuación cuadrática,

[matemáticas] t = – \ frac {\ sqrt {e} +2} {2 (4- \ sqrt {e})} + \ frac {1} {2} \ sqrt {\ left (\ frac {\ sqrt { e} +2} {2 (4- \ sqrt {e})} \ right) ^ 2 + \ frac {2 (\ sqrt {e} -2 \ ln 2)} {4- \ sqrt {e}}} \ aproximadamente 0.035165 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] x \ aproximadamente 0.25-0.035165 = 0.214835 [/ matemáticas], lo que lo acerca mucho más a la respuesta exacta. Podemos creer que una corrección más alta dará un resultado más preciso.

Estoy de acuerdo con Daniel Bamberger, no puede encontrar una solución utilizando las funciones habituales, pero al menos puede probar analíticamente que existe una única solución real.

sea ​​f: R + * -> R x-> e ^ (2x) + ln (x)

Esta función es obviamente diferenciable:

f ‘(x) = 2e ^ (2x) + 1 / x

f es una función de aumento continuo, por lo que debe ser biyectiva

lim f (x) x-> 0 = -infinito

lim f (x) x-> + infinito = + infinito

0 está en el rango, por lo que hay una única solución

No puedes

Esta ecuación solo se puede resolver numéricamente. Tiene una solución real, en [math] x \ approx0.21498 [/ math].