Depende del conjunto en el que desee que se solucionen las soluciones.
Sobre [math] \ mathbb {C}, \ mathbb {R}, \ mathbb {Q} [/ math]. Oh muchos.
Sospecho que quieres soluciones sobre los enteros.
Caso 1: [matemática] x, y, z \ geq 0 [/ matemática]
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Luego, usando la desigualdad AM-GM,
[matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 + 1 \ geq 4 \ sqrt [4] {x ^ 4y ^ 4z ^ 4} \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 + 1 \ geq 4xyz \ tag * {} [/ matemáticas]
Dado que estos dos son iguales si y solo si [matemáticas] x ^ 4 = y ^ 4 = z ^ 4 = 1, [/ matemáticas] por lo tanto, [matemáticas] (1,1,1) [/ matemáticas] es el único no Solución negativa .
Caso 2: [matemática] x, y, z \ leq 0 [/ matemática]
Si las tres [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas] son negativas, entonces,
[matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 + 1> 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Y,
[matemáticas] 4xyz <0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 + 1 <0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
Lo cual es una contradicción, por lo tanto, los tres de [matemáticas] x, y [/ matemáticas] y [matemáticas] z [/ matemáticas] no son negativos.
Caso 3: Cualquiera negativo.
Similar al caso 2, cualquiera de ellos no puede ser negativo.
Caso 4: 2 negativos.
Por conveniencia, deje [math] x, y <0 [/ math] para cualquier solución [math] (x, y, z) [/ math] [math]. [/ Math] De hecho, dos de ellos pueden ser negativos.
Luego, en la ecuación, considere la transformación
[matemáticas] x \ rightarrow -x \ tag * {} [/ matemáticas]
[math] y \ rightarrow -y \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] x ^ 4 + y ^ 4 + z ^ 4 + 1 = 4xyz \ tag * {} [/ matemáticas]
[matemáticas] (- x) ^ 4 + (- y) ^ 4 + z ^ 4 + 1 = 4 (-x) (- y) z \ tag * {} [/ matemáticas]
Esto implica que [math] (- x, -y, z) [/ math] es una solución.
Si [math] x, y 1 [/ math] que contradice el caso 1.
Por lo tanto, las únicas soluciones negativas son aquellas que corresponden a [matemáticas] (1,1,1) [/ matemáticas].
Es decir, [matemáticas] (- 1, -1,1), (- 1,1, -1), (1, -1, -1) [/ matemáticas].
Para concluir, hay un total de soluciones [math] \ boxed {4} [/ math] sobre los enteros.