¿Cuáles son algunas ecuaciones matemáticas divertidas que conoces?

Answer 1

Suponiendo que por “diversión” te refieres a locura, te presento la fórmula de Euler:

[matemáticas] e ^ {iωt} = \ cos (ωt) + i \ sin (ωt) [/ matemáticas]

Esta fórmula es el resultado de las expansiones en serie de las funciones seno, coseno y exponencial. Te permitiré tomarte un segundo y contemplar lo que significa esta fórmula.

Probablemente sepa que la función exponencial siempre aumenta en los números reales. Entonces, esta fórmula en realidad nos dice algo inimaginable: la función exponencial es en realidad periódica, ¡ y en el eje imaginario oscila completamente! Esto significa que puede representar oscilaciones o eventos periódicos utilizando un crecimiento exponencial a través de números complejos.

Juguemos un poco con la fórmula. Arreglemos ω a un valor simple, digamos 1, y juguemos con el tiempo.

Para [matemáticas] t = 0: e ^ 0 = 1 [/ matemáticas]

Para [matemáticas] t = \ frac {\ pi} {2}: e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} = \ cos (\ frac {\ pi} {2}) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2}) = i [/ matemáticas]

Para [matemáticas] t = \ pi: e ^ {i \ pi} = \ cos (\ pi) + i \ sin (\ pi) = -1 [/ matemáticas]

Para [matemáticas] t = 3 \ frac {\ pi} {2}: e ^ {i3 \ frac {\ pi} {2}} \ cos (3 \ frac {\ pi} {2}) + i \ sin ( 3 \ frac {\ pi} {2}) = -i [/ matemáticas]

Y finalmente, para [matemáticas] t = 2 \ pi, e ^ {2 \ pi i} = \ cos (2 \ pi) + i \ sin (2 \ pi) = 1 [/ matemáticas]

Como puede ver, terminamos exactamente donde comenzamos. Y no solo eso, si continuamos así, seguiremos repitiendo el patrón para siempre.

Entonces, ¿qué pasa con ω entonces? Bueno, dependiendo del valor de ω, la función oscila más rápido o más lento. De hecho, podemos cambiar la frecuencia (o frecuencia angular) de este oscilador simplemente cambiando el valor de ω.

Esta ecuación es extremadamente importante, y con ella podemos expresar una cantidad inimaginable de cosas usando solo la función exponencial. ¿Sabías que una onda se puede expresar como exponencial? ¿Sabía que la oscilación de los amortiguadores de su automóvil se puede expresar como un exponencial perfectamente? ¿Sabía que la respuesta de cualquier circuito lineal pasivo puede expresarse como una suma de exponenciales? Hay millones de fenómenos que pueden expresarse así: [matemática] e ^ {- st} [/ matemática] donde [matemática] s [/ matemática] es un número complejo y [matemática] t [/ matemática] es el tiempo.

Y ni siquiera mencionemos las transformadas de Fourier o Laplace. ¡Pueden separar más o menos todas las funciones prácticas en sumas de exponenciales complejos! Esto nos permite descubrir qué frecuencias son las dominantes en el sistema que estamos tratando de analizar. Los filtros, el reconocimiento de voz, el procesamiento de imágenes, el análisis de datos y mucho más utilizan estas transformaciones.

¡Y todo es gracias a esta pequeña fórmula, por lo que comprenderla realmente cambia tu visión sobre muchos temas!

Answer 2

Me gustan los que tienen amplias aplicaciones. Así que tenemos cosas como las ecuaciones de Maxwell que describen y unen campos eléctricos y magnéticos.

o la ecuación de Navier Stokes, que describe el flujo de fluido:

Son cosas como esta las que llevan a ciertas personas a decir que la física tiene cierta belleza en algunos de sus resultados más famosos.

Me gustan las ecuaciones matemáticas que describen cosas enormes como esta.

Answer 3

De las ecuaciones que entiendo, soy parcial con las ecuaciones de Maxwell y la ecuación de Schrödinger. Si tuviera que elegir una ecuación de Maxwell, tal vez la Ley de Ampere (¡con la corrección de la corriente de desplazamiento de Maxwell, por supuesto!).

De las ecuaciones que no entiendo, siempre está el Modelo Lagrangiano Estándar:

Ni siquiera intentaré explicar esto ya que no entiendo la física. Pero disfruto lo desalentador que es.

Answer 4

No es realmente una ecuación, pero es más un problema divertido.

Tome E, un conjunto de números reales, que contiene al menos 13 elementos .

Demuestre que debe existir [math] x \ not = y \ en E, 0 \ le \ frac {xy} {1 + xy} \ le 2- \ sqrt {3} [/ math]

El problema parece muy extraño, pero te garantizo que la solución tiene aproximadamente 2 líneas de largo. ¡La buena idea es todo lo que se necesita!

Gracias por el A2A!

Answer 5

La favorita es la identidad de Euler:

Answer 6

Dado que uno de mis favoritos ya ha sido mencionado (Maxwell’s), nominaré a los otros tres que más me gustan:

Ecuación de Dirac

La ecuación de onda que vincula la mecánica cuántica con la relatividad y propuso la existencia de antimateria. No hay nada más divertido que eso.

[matemáticas] i \ hbar \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu = mc \ psi [/ matemáticas]

Teorema de Stokes

¡Me encanta esta ecuación, tan simple, profunda y tan divertida! Una generalización del teorema general del cálculo, el teorema de Green y el teorema de la divergencia .

[matemáticas] \ int _ {\ partial \ Omega} \ omega = \ int _ {\ Omega} \ partial \ omega [/ math]

Proceso Wiener

Simplemente amo los procesos estocásticos y el movimiento browniano . Este tiene aplicaciones importantes en Física (procesos de difusión) y Finanzas (mercado de valores)

[matemáticas] X_ {t} = \ mu t + \ sigma W_ {t} [/ matemáticas]