Cómo resolver esta ecuación para [matemáticas] z [/ matemáticas], donde [matemáticas] z [/ matemáticas] es un número complejo: [matemáticas] e ^ {6z} + (1-i) e ^ {3z} -i = 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Aparentemente, la ecuación que OP nos significó resolver es

[matemáticas] e ^ {6z} + (1 − i) e ^ {3z} −i = 0 [/ matemáticas]

que es mucho más manejable que el de la pregunta. Alguien debería arreglar la pregunta.

Como [math] e ^ {6z} = (e ^ {3z}) ^ 2, [/ math] esta es una ecuación cuadrática en [math] e ^ {3z}. [/ Math] Por la fórmula cuadrática

[matemáticas] e ^ {3z} = \ dfrac {-1 + i \ pm \ sqrt {(1-i) ^ 2 + 4i}} {2} = \ dfrac {-1 + i \ pm \ sqrt {-2i + 4i}} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {3z} = \ frac 1 2 (-1 + i \ pm \ sqrt {2i}) [/ matemáticas]

¿Qué es [math] \ sqrt {2i} [/ math]? Una vez escribí una publicación de blog sobre cómo sacar la raíz cuadrada de un número complejo. Este es fácil, siendo [matemática] 90 ^ \ circ [/ matemática] y magnitud 2, por lo que su raíz cuadrada es [matemática] 45 ^ \ circ [/ matemática] y magnitud [matemática] \ sqrt {2}. [ / math] Eso es solo [math] 1 + i. [/ math] Verifique: [math] (1 + i) ^ 2 = 1 ^ 2 + i ^ 2 + 2i = 2i \ quad \ checkmark. [/ math]

[matemáticas] e ^ {3z} = \ frac 1 2 (-1 + i \ pm (1 + i)) [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {3z} = i [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ {3z} = -1 [/ matemáticas]

Esto significa que podríamos haber factorizado la [matemática] original (e ^ {3z} – i) (e ^ {3z} + 1), [/ matemática] pero me perdí eso.

Tomemos estos uno a la vez. Como siempre, [math] e ^ {2 \ pi ki} = 1 [/ math] para entero [math] k. [/ Math]

[matemáticas] e ^ {3z} = i = e ^ {i \ pi / 2} e ^ {2 \ pi ki} = e ^ {i (\ pi / 2 + 2 \ pi k)} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3z = i (\ pi / 2 + 2 \ pi k) [/ matemáticas]

[matemáticas] z = i (\ pi / 6 + 2 \ pi k / 3) [/ matemáticas]

Esa es una infinita cantidad de soluciones, todas imaginarias.

[matemáticas] e ^ {3z} = -1 = e ^ {i \ pi} e ^ {2 \ pi ki} [/ matemáticas]

[matemáticas] 3z = i (\ pi + 2 \ pi k) [/ matemáticas]

[matemáticas] z = i (\ pi / 3 + 2 \ pi k / 3) [/ matemáticas]

Esa es otra cantidad infinita de soluciones, también todas imaginarias.

Deberíamos comprobarlo, pero tengo demasiado sueño.

Answer 2

Un problema. La potencia no está bien definida para una base compleja (como [matemática] 1-i [/ matemática]) y exponente complejo (como [matemática] 3z [/ matemática]).

Se puede definir correctamente para base real positiva ([matemática] e [/ matemática]) y exponente complejo ([matemática] 6z [/ matemática]), o para base compleja y exponente entero.

Tenga en cuenta que [math] 1-i = \ sqrt {2} e ^ {\ frac {4k-1} 2 \ pi i} [/ math], para cualquier número entero [math] k [/ math]. Entonces, si [math] z = x + yi [/ math], entonces

\ begin {align}
1-i & = \ sqrt {2} e ^ {\ frac {4k-1} 2 \ pi i} \\
(1-i) ^ {3z} & = (\ sqrt {2} e ^ {\ frac {4k-1} 2 \ pi i}) ^ {3 (x + yi)} \\
& = \ sqrt {2} ^ {3 (x + yi)} \ cdot e ^ {\ frac {4k-1} 2 \ pi i \ cdot 3 (x + yi)} \\
& = (e ^ {\ frac12 \ ln2}) ^ {3 (x + yi)} \ cdot e ^ {3 \ frac {4k-1} 2 \ pi xi-3 \ frac {4k-1} 2 \ pi y)} \\
& = e ^ {\ frac12 \ ln2 \ cdot3 (x + yi)} \ cdot e ^ {3 \ frac {4k-1} 2 \ pi xi} e ^ {- 3 \ frac {4k-1} 2 \ pi y)} \\
& = e ^ {\ frac32x \ ln2 + i \ frac32y \ ln2} \ cdot e ^ {3 \ frac {4k-1} 2 \ pi xi} e ^ {- 3 \ frac {4k-1} 2 \ pi y )} \\
& = e ^ {\ frac32x \ ln2} e ^ {i \ frac32y \ ln2} \ cdot e ^ {3 \ frac {4k-1} 2 \ pi xi} e ^ {- 3 \ frac {4k-1} 2 \ pi y} \\
& = e ^ {\ frac32x \ ln2-3 \ frac {4k-1} 2 \ pi y} \ cdot e ^ {i (\ frac32y \ ln2 + 3 \ frac {4k-1} 2 \ pi x)} \ \
(1-i) ^ {3z} & = {\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac {12k-3} 2 \ pi y} \ cdot e ^ {i \ frac {3y \ ln2 + (12k-3 ) x \ pi} 2} \\
| (1-i) ^ {3z} | & = {\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac32 \ pi y} (e ^ {- 6 \ pi y}) ^ k \\
\ angle (1-i) ^ {3z} & = \ frac {3y \ ln2 + (12k-3) x \ pi} 2
\ end {alinear}

Entonces, hay una familia de soluciones con diferentes normas y argumentos angulares, una solución para cada valor posible [math] k [/ math].

Podríamos elegir arbitrariamente [math] k = 0 [/ math] como la rama principal . Entonces:

\ begin {align}
(1-i) ^ {3z} & = {\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac {-3} 2 \ pi y} \ cdot e ^ {i \ frac {3y \ ln2-3x \ pi} 2} \\
(1-i) ^ {3z} & = {\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac {-3} 2 \ pi y} \ cdot (\ cos {\ frac {3y \ ln2-3x \ pi} 2} + i \ sin {\ frac {3y \ ln2-3x \ pi} 2}) \\
e ^ {6z} & = e ^ {6x} e ^ {i6y} = e ^ {6x} (\ cos6y + i \ sin6y) \\
e ^ {6z} + (1-i) ^ {3z} -i & = ({\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac {-3} 2 \ pi y} \ cos {\ frac {3y \ ln2 -3x \ pi} 2} + e ^ {6x} \ cos6x) + i ({\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac {-3} 2 \ pi y} \ sin {\ frac {3y \ ln2 -3x \ pi} 2} + e ^ {6x} \ sin6x-1) \\
0 & = ({\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac {-3} 2 \ pi y} \ cos {\ frac {3y \ ln2-3x \ pi} 2} + e ^ {6x} \ cos6x) + i ({\ sqrt2} ^ {3x} e ^ {\ frac {-3} 2 \ pi y} \ sin {\ frac {3y \ ln2-3x \ pi} 2} + e ^ {6x} \ sin6x- 1)
\ end {alinear}

¡Suerte!

Answer 3

Resolviendo la ecuación en el comentario de Vardan Movsisyan sobre la respuesta de Carlos Eugenio Thompson Pinzón:

[matemáticas] \ displaystyle e ^ {6z} + (1-i) e ^ {3z} – i = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica (e ^ {3z}) ^ 2 + (1-i) e ^ {3z} – i = 0 [/ matemáticas]

let [matemáticas] \ displaystyle x = e ^ {3z} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x ^ 2 + (1-i) x – i = 0 [/ matemáticas]

ahora aplicando la fórmula cuadrática para obtener:

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x = \ dfrac {- (1-i) \ pm \ sqrt {(1-i) ^ 2 + 4i}} {2} [/ matemáticas]

[math] \ displaystyle \ implica e ^ {3z} = \ dfrac {- (1-i) \ pm \ sqrt {(1-i) ^ 2 + 4i}} {2} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica e ^ {3z} = {\ Huge e} ^ {{\ Huge \ ln} \ left (\ dfrac {- (1-i) \ pm \ sqrt {(1-i) ^ 2 + 4i}} {2} \ right)} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica e ^ {3z} = {\ Huge e} ^ {{\ Huge \ ln} \ left (\ dfrac {- (1-i) \ pm \ sqrt {(1-i) ^ 2 + 4i}} {2} \ right) + {\ Large k2 \ pi i}} \ space \ thinspace para \ thinspace \ space k \ in \ Z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica 3z = \ ln \ left (\ dfrac {- (1-i) \ pm \ sqrt {(1-i) ^ 2 + 4i}} {2} \ right) + k2 \ pi i \ space \ thinspace para \ thinspace \ space k \ in \ Z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica z = \ dfrac {1} {3} \ cdot \ ln \ left (\ dfrac {- (1-i) \ pm \ sqrt {(1-i) ^ 2 + 4i}} { 2} \ right) + \ frac {k2 \ pi i} {3} \ space \ thinspace para \ thinspace \ space k \ in \ Z [/ math]

Answer 4

Esta es una cuadrática en e ^ 3z.

Le e ^ 3z = X

Entonces tenemos, X ^ 2 + (1-i) X -i = 0

Usa la fórmula cuadrática para resolver.