¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial dy / dx = (Y ^ 4) sin (2x + 2) y por qué?

Answer 1

Entonces, [matemáticas] \ frac {dy} {dx} = y ^ 4 sin (2x + 2) [/ matemáticas]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ frac {1} {y ^ 4} dy = sin (2x + 2) dx [/ matemáticas]

Ahora solo integre los dos:

[matemáticas] \ int \ frac {1} {y ^ 4} dy = \ int sin (2x + 2) dx [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {-1} {3y ^ 3} + c_1 = – \ frac {1} {2} cos (2x + 2) + c_2 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que ambas constantes de integración pueden combinarse, y debido a que el valor es desconocido, puede colocarse en un corchete junto con [math] cos (2x + 2) [/ math] para la limpieza, sin ninguna pérdida de generalidad.

[matemáticas] \ frac {-1} {3y ^ 3} = – \ frac {1} {2} (cos (2x + 2) + c) [/ matemáticas]

La razón por la que arrojé [math] c [/ math] en el soporte de esa manera fue porque hace que sea más fácil hacer el paso final, que es hacer que [math] y [/ math] sea el tema de la ecuación:

[matemática] y = (\ frac {2} {3 cos (2x + 2) + c}) ^ {\ frac {1} {3}} [/ matemática]

Esta es la solución general.

Es interesante observar cómo esta solución cambia para diferentes valores de [math] c [/ math].

El denominador tiene una función [matemática] cos [/ matemática] por lo que varía de [matemática] -1 [/ matemática] a [matemática] +1 [/ matemática], junto con cualquier valor de [matemática] c [/ matemática] está agregado.

Para [math] c> 1 [/ math], la función se comporta bien porque todos los valores en el denominador son positivos, por lo tanto, todo se mantiene positivo por lo que tiene una raíz cúbica sensible. Como gráfico, esto se verá como una función oscilante bastante estándar.

Para [math] c \ leq -1 [/ math], la función se encuentra en el dominio complejo porque el denominador siempre es negativo, lo que significa que tiene una raíz cúbica compleja. No habrá un gráfico dibujable para esto en el dominio Real.

Para [math] -1 <c \ leq 1 [/ math], la función pierde su continuidad, porque para algunos valores de [math] cos [/ math] el denominador terminará siendo negativo, y para otros valores el denominador será positivo. El gráfico se verá así: Clicky linky

Answer 2

Esta ecuación es separable, por lo que debería ser fácil. Dividiendo entre [matemáticas] y ^ 4 [/ matemáticas] y “multiplicando por dx”, encontramos

[matemáticas] \ frac {dy} {y ^ 4} = \ sin (2x + 2) dx [/ matemáticas]

Integrando,

[matemáticas] \ frac {1} {3} \ left (\ frac {1} {y_0 ^ 3} – \ frac {1} {y ^ 3} \ right) = – \ frac {1} {2} \ left (\ cos (2x + 2) – \ cos (2x_0 + 2) \ right) [/ math]

Con un poco de reorganización, esto se convierte

[matemáticas] y (x) = \ left (\ frac {1} {\ frac {1} {y_0 ^ 3} – \ frac {3} {2} \ left (\ cos (2x_0 + 2) – \ cos ( 2x + 2) \ right)} \ right) ^ {1/3} [/ math]

Una vez que especifique [math] (x_0, y_0) [/ math], nos vamos a las carreras. Tenemos que tener en cuenta algunas cosas: obviamente, nunca podemos dividir por cero, por lo que [math] y_0 [/ math] no puede ser igual a cero, y tampoco puede ser tal que

[matemáticas] \ frac {1} {y_0 ^ 3} = \ frac {3} {2} \ left (\ cos (2x_0 + 2) – \ cos (2x + 2) \ right) [/ math]

para cualquier valor de [math] x [/ math].

Answer 3

¿Cuál es la solución general de la ecuación diferencial dy / dx = (Y ^ 4) sin (2x + 2) y por qué?

[math] \ frac {dy} {dx} = y ^ 4 \ sin (2x + 2) [/ math] es una ecuación diferencial separable, porque el lado derecho tiene la forma [math] g (x) \ cdot h (y) [/ matemáticas]. Por lo tanto, se puede resolver separando las variables:

[matemáticas] \ begin {align *} y ^ {- 4} \, dy & = \ sin (2x + 2) \, dx && \ text {multiplica por} y ^ {- 4} dx \\ \ int y ^ { -4} \, dy & = \ int \ sin (2x + 2) \, dx && \ text {integrar ambos lados} \\ – \ frac {1} {3} y ^ {- 3} & = – \ frac { 1} {2} \ cos (2x + 2) + C && \ text {(solo se necesita una constante)} \\ y ^ {- 3} & = \ frac {3} {2} \ cos (2x + 2) + C && \ text {multiplicar por} – \! 3 \\ \ end {align *} [/ math]

El último paso es opcional; si lo desea, puede hacer algo más de álgebra (por ejemplo, tomar la raíz recíproca y cúbica de ambos lados para obtener una solución explícita para y ).

(editar) Aquí hay un campo de pendiente con algunas soluciones de muestra (aproximadas):

Las soluciones de muestra (de menor a mayor) corresponden a las condiciones iniciales [matemáticas] \ color {verde} {y (0) = 0.4} [/ matemáticas], [matemáticas] \ color {rojo} {y (0) = 0.75 } [/ matemática], [matemática] \ color {azul} {y (0) = 1} [/ matemática] y [matemática] \ color {púrpura} {y (0) = 1.5} [/ matemática].

Fuente: Campos de pendiente y dirección para ecuaciones diferenciales

Answer 4

reescribe como [matemáticas] y ^ {- 4} \ frac {dy} {dx} = \ sin (2x + 2) [/ matemáticas] e integra ambos lados:

[matemáticas] \ frac {y ^ {- 3}} {- 3} = \ frac {- \ cos (2x + 2)} {2} + C [/ matemáticas]

[matemáticas] y = (1.5 \ cos (2x + 2) + C) ^ {- 1/3} [/ matemáticas]