¿Cuál es la relación entre a, b y c, si la ecuación (a ^ 2 + b ^ 2) x ^ 2-2bx (a + c) + b ^ 2 + c ^ 2 = 0 tiene raíces iguales?

Answer 1

Para una ecuación cuadrática Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Para que las raíces sean iguales, su discriminación debe ser igual a cero.

• D = 0
• B ^ 2 – 4AC = 0

Aquí,

• A = a ^ 2 + b ^ 2, B = 2b (a + c), C = b ^ 2 + c ^ 2

Sustituyendo en la condición anterior

• (2b (a + c)) ^ 2 -4 ((a ^ 2 + b ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2)) = 0
• 4b ^ 2 (a + c) ^ 2 – 4 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 4 + b ^ 2c ^ 2) = 0
• 4b ^ 2 (a ^ 2 + 2ac + c ^ 2) – 4 (ab) ^ 2- 4 (ac) ^ 2 – 4b ^ 4 – 4 (bc) ^ 2 = 0
• 4b ^ 2a ^ 2 + 8acb ^ 2 + 4c ^ 2b ^ 2 -4 (ab) ^ 2- 4 (ac) ^ 2 – 4b ^ 4 – 4 (bc) ^ 2 = 0
• 4 (ab) ^ 2 + 8 (ac) b ^ 2 + 4 (bc) ^ 2 – 4 (ab) ^ 2 – 4 (ac) ^ 2 – 4b ^ 4 – 4 (bc) ^ 2 = 0
• 8 (ac) b ^ 2 – 4 (ac) ^ 2 – 4b ^ 4 = 0

Al reorganizar y tomar – (menos) como común

• (2ac) ^ 2- 2 (2ac) (2b ^ 2) + (2b ^ 2) ^ 2 = 0
• (2ac -2b ^ 2) ^ 2 = 0
• 2ac – 2b ^ 2 = 0
• 2ac = 2b ^ 2
• ac = b ^ 2 (o) b ^ 2 = ac

Espero que lo hayas entendido

Answer 2

[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) x ^ 2-2bx (a + c) + b ^ 2 + c ^ 2 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2x ^ 2-2axb + b ^ 2 + b ^ 2x ^ 2-2bxc + c ^ 2 = 0 \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] (ax-b) ^ 2 + (bx-c) ^ 2 = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que tanto [math] (ax-b) ^ 2 [/ math] como [math] (bx-c) ^ 2 [/ math] no son negativos, por lo que su suma puede ser cero si y solo si ambos son cero . Por lo tanto,

[matemáticas] (ax-b) ^ 2 = 0 \ implica x = \ dfrac {b} {a} \ tag * {} [/ matemáticas]

[matemáticas] (bx-c) ^ 2 = 0 \ implica x = \ dfrac {c} {b} [/ matemáticas]

Debido a que esta cuadrática tiene raíces iguales, los valores así obtenidos son iguales,

[matemáticas] x = \ dfrac {b} {a} = \ dfrac {c} {b} \ tag * {} [/ matemáticas]

Multiplicación cruzada

[matemáticas] b ^ 2 = ac \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] a, b [/ math] y [math] c [/ math] están en GP.

Answer 3

Si las raíces son iguales, el discriminante es cero:

B ^ 2 -4AC = 0

Donde B es -2b (a + c), A es a ^ 2 + b ^ 2 y C es b ^ 2 + c ^ 2.

Ahora puede sustituir los valores y obtener la relación.

Answer 4

Esta es una ecuación cuadrática y, dado que las raíces son iguales, D = 0

Aquí D = ((2b (a + c)) ^ 2) –4 (a ^ 2 + b ^ 2) (b ^ 2 + c ^ 2)

Iguala esto a 0