¿Cuál es la ecuación de un círculo que pasa por (-1,2), (3,4), (2, -1)?

Answer 1

Entonces, tenemos algunas cosas diferentes que están sucediendo aquí. Necesitamos satisfacer las siguientes ecuaciones … Recuerde, la ecuación para un círculo es.

[matemáticas] (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Donde [matemática] x [/ matemática] es la posición [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática] es la posición [matemática] y [/ matemática], [matemática] a [/ matemática] es la coordenada [matemática] x [/ matemática] del centro, [matemática] b [/ matemática] es la coordenada [matemática] y [/ matemática] del centro, y [matemática] r [/ matemática] es el radio de el círculo. Nos dijeron esencialmente en la declaración del problema.

[matemáticas] (- 1-a) ^ 2 + (2-b) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (3-a) ^ 2 + (4-b) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] (2-a) ^ 2 + (- 1-b) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Puedes encontrar estas ecuaciones simplemente conectando las coordenadas [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] que te dieron. Tres ecuaciones, 3 variables, sin grados de libertad. Entonces encontramos [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] r [/ matemáticas] y las conectamos a la ecuación original.

Acabo de usar una computadora en esta parte, si necesita alguna aclaración sobre cómo resolver un sistema de tres ecuaciones, deje un comentario.

Los valores que encuentra son

[matemáticas] r = \ frac {\ sqrt {65}} {3}, a = \ frac {5} {3}, b = \ frac {5} {3} [/ matemáticas]

conéctelos al original y encontrará

[matemáticas] (x- \ frac {5} {3}) ^ 2+ (y- \ frac {5} {3}) ^ 2 = \ frac {65} {9} [/ matemáticas]

Ahí tienes!

Answer 2

Las coordenadas [matemáticas] p_1 = (-1,2) [/ matemáticas] y [matemáticas] p_3 = (2, -1) [/ matemáticas] son ​​simétricas en [matemáticas] y = x, [/ matemáticas] por lo que su centro miente en esta línea de identidad.

Con [matemática] p_1 [/ matemática] y [matemática] p_2 = (3,4) [/ matemática] el círculo debe estar en la línea [matemática] k [/ matemática] que corre a través de su promedio [matemática] (1, 3), [/ math] con una dirección ortogonal a su diferencia [math] p_2-p_1 = (4,2) [/ math], que puede describirse como:

[matemáticas] k: (x, y) = (1,3) + \ lambda (1, -2) [/ matemáticas]

Por lo tanto, el centro es:

[matemáticas] M = (5/3, 5/3). [/ matemáticas]

La ecuación es entonces

[matemáticas] (x-5/3) ^ 2 + (y-5/3) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]

Que después de conectar [math] p_2 [/ math] produce:

[matemáticas] r ^ 2 = (4/3) ^ 2 + (7/3) ^ 2 = 65/9 [/ matemáticas]

Entonces obtenemos:

[matemática] \ grande (x-5/3) ^ 2 + (y-5/3) ^ 2 = 65/9 [/ matemática]

Answer 3

Hay una deliciosa fórmula “similar a un cordón” para encontrar el centro de un círculo, dados tres puntos. Suponga que los tres puntos están dados por esta tabla:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c} x & y \\ \ hline -1 & 2 \\ \ hline 3 & 4 \\ \ hline 2 & -1 \ end {array} \ tag * {} [ /matemáticas]

Ahora, agregue una tercera columna, que es la distancia al cuadrado desde el origen de cada punto:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c} x & y & \ text {sum sq} \\ \ hline -1 & 2 & 5 ~ = ~ (-1) ^ 2 + 2 ^ 2 \\ \ hline 3 y 4 y 25 ~ = ~ 3 ^ 2 + 4 ^ 2 \\ \ hline 2 y -1 y 5 ~ = ~ 2 ^ 2 + (- 1) ^ 2 \ end {array} \ tag * {} [/matemáticas]

A continuación, voy a pedirle que “calce” las columnas [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] de esta tabla. Para entender lo que quiero decir, eche un vistazo a este artículo: Fórmula de cordones de los zapatos – Wikipedia. Por conveniencia, usaré el punto “[math] \ cdot [/ math]” como mi operador de “cordón de zapato” Aquí está la tabla completada para [math] x \ cdot y [/ math]:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -1 & 2 & 5 & -10 = \ small {(- 1 * 4) – (2 * 3)} & ~ & ~ \\ \ hline 3 & 4 & 25 & -11 = \ small {(3 * -1) – (4 * 2)} & ~ & ~ \\ \ hline 2 & -1 & 5 & 3 = \ small {(2 * 2) – (- 1 * – 1)} & ~ & ~ \ end {array} \ tag * {} [/ math]

¿Ves cómo el último par de cordones de los zapatos “envuelve” en la parte superior? [math] 3 = \ small {(2 * 2) – (- 1 * -1)} [/ math] proviene de la primera y la última fila.

Y ahora, para completar la columna de [math] y \ cdot \ text {sum sq} [/ math]:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -1 & 2 & 5 & -10 & 30 = \ small {(2 * 25) – (5 * 4)} & ~ \\ \ hline 3 & 4 & 25 & – 11 & 45 = \ small {(4 * 5) – (25 * -1)} & ~ \\ \ hline 2 & -1 & 5 & 3 & -15 = \ small {(- 1 * 5) – (5 * 2)} & ~ \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Finalmente, para completar la última columna, [math] \ text {sum sq} \ cdot x [/ math], observe cómo se ajustan las columnas, al igual que las filas. Puedes pensar en esta matriz de tres por tres que estamos entrelazando como si fuera una dona. Es decir, estamos usando la topología de toro, de modo que todo se envuelve desde la parte inferior hacia la parte superior y del lado derecho hacia la izquierda.

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -1 & 2 & 5 & -10 & 30 & 40 = \ small {(5 * 3) – (- 1 * 25)} \\ \ hline 3 & 4 & 25 & -11 y 45 y 35 = \ pequeño {(25 * 2) – (3 * 5)} \\ \ hline 2 y -1 y 5 y 3 y -15 y -15 = \ pequeño {(5 * -1) – (2 * 5)} \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Ahora, sume los totales para todas las columnas de “cordón”:

[matemáticas] \ begin {array} {c | c | c | c | c | c} x & y & \ text {sum sq} & x \ cdot y & y \ cdot \ text {sum sq} & \ text { sum sq} \ cdot x \\ \ hline -1 y 2 y 5 y -10 y 30 y 40 \\ \ hline 3 y 4 y 25 y -11 y 45 y 35 \\ \ hline 2 y -1 y 5 & 3 & -15 & -15 \\ \ hline \ hline ~ & ~ & ~ & -18 & 60 & 60 \ end {array} \ tag * {} [/ math]

Ahora, el centro del círculo tiene las siguientes coordenadas:

[matemáticas] \ left (\ dfrac {- \ frac {1} {2} ~ y \ cdot \ text {sum sq}} {x \ cdot y} ~, ~ \ dfrac {- \ frac {1} {2} ~ \ text {sum sq} \ cdot x} {x \ cdot y} \ right) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] ~ = ~ \ left (\ dfrac {- \ frac {1} {2} (60)} {- 18} ~, ~ \ dfrac {- \ frac {1} {2} (60)} {- 18} \ right) \ tag * {} [/ math]

[matemáticas] ~ = ~ \ left (\ dfrac {5} {3} ~, ~ \ dfrac {5} {3} \ right) \ tag * {} [/ math]

Ahora solo necesitamos encontrar el cuadrado del radio, que es la distancia desde el centro a uno de los tres puntos.

[matemáticas] r ^ 2 ~ = ~ \ left (-1- \ dfrac {5} {3} \ right) ^ 2 ~ + ~ \ left (2- \ dfrac {5} {3} \ right) ^ 2 ~ = ~ \ dfrac {65} {9} \ tag * {} [/ math]

Y la ecuación del círculo es:

[matemática] \ left (x- \ dfrac {5} {3} \ right) ^ 2 + \ left (y- \ dfrac {5} {3} \ right) ^ 2 ~ = ~ \ dfrac {65} {9 } \ tag * {} [/ math]

Answer 4

Una ecuación de un círculo es x ^ 2 + y ^ 2 + ax + por + c = 0.

Conecte tres puntos para obtener tres ecuaciones lineales para a, b, c y resuélvalas.

Answer 5

Para encontrar el centro [matemática] (h, k) [/ matemática] en [matemática] (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática] más rápidamente, resuelva

[matemáticas] (- 1-h) ^ 2 + (2-k) ^ 2 = (3-h) ^ 2 + (4-k) ^ 2, [/ matemáticas]

[matemáticas] (-1-h) ^ 2- (3-h) ^ 2 = (4-k) ^ 2- (2-k) ^ 2, [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 4) (2–2h) = 2 (6–2k) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] (2-h) ^ 2 + (- 1-k) ^ 2 = (3-h) ^ 2 + (4-k) ^ 2, [/ matemáticas]

[matemáticas] (2-h) ^ 2- (3-h) ^ 2 = (4-k) ^ 2 – (- 1-k) ^ 2, [/ matemáticas]

[matemáticas] (- 1) (5–2h) = 5 (3–2k) [/ matemáticas]

por [matemáticas] A ^ 2-B ^ 2 = (AB) (A + B) [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] -8 + 8h = 12–4k [/ matemáticas] menos cuatro veces

[matemáticas] -5 + 2h = 15–10k [/ matemáticas] da

[matemáticas] 12 = -48 + 36k, k = 5/3 [/ matemáticas] y así sucesivamente

Answer 6

conecta líneas entre 3 puntos para hacer un triángulo.

Dibuje con líneas ortogonales y en el medio de las 3 líneas.

Encuentra intersección, este es el centro de círculos

y = x entre (-1,2), (2, -1)

y = -2x + 5 entre (-1,2), (3,4)

Intersección en (5 / 3,5 / 3)

Radio = [matemáticas] \ frac {\ sqrt {65}} {3} [/ matemáticas]

Ecuación para círculo =

[matemáticas] (x- \ frac {5} {3}) ^ 2+ (y- \ frac {5} {3}) ^ 2 = \ frac {65} {9} [/ matemáticas]

Answer 7

Si quieres encontrarlo rápidamente,

[matemáticas] \ begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & x & y & 1 \\ (- 1) ^ 2 + 2 ^ 2 & -1 & 2 & 1 \\ 3 ^ 2 + 4 ^ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 2 ^ 2 + (- 1) ^ 2 y 2 y -1 y 1 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]