¿Por qué [matemáticas] (x + y) ^ 2 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]?

Answer 1

Es bastante fácil ver que, si tengo cinco hijos, dos niñas y tres niños, y quiero darles cinco monedas cada uno, tendría que tener

5 * (2 + 3) = 5 * 2 + 5 * 3 = 10 + 15 = 25 monedas.

Si quiero darles a mis dos hijas y a mis tres hijos dos monedas de cinco centavos y tres monedas de diez centavos cada una, entonces tendría que asegurarme de que TENÍA

( 2 nickles / kid + 3 dime / kid ) * (5 kids) = 10 nickles y 15 dimes.

Ahora, si lo desglosamos aún más, podemos comenzar a ver que cada una de las 2 niñas obtiene 2 nickles y 3 dimes, además de que cada uno de los 3 niños obtiene 2 nickles y 3 dimes.

(2 nickles / (niño o niña) + 3 dimes / (niño o niña)) * (2 niñas + 3 niños) = [matemáticas] (2 * 2) + (2 * 3) + (3 * 2) + ( 3 * 3) [/ matemáticas]

Entonces esto equivale a [matemáticas] 2 ^ 2 + 2 * 3 + 3 * 2 + 3 ^ 2. [/ Matemáticas]

O [matemáticas] 2 ^ 2 + 2 * (2 * 3) + 3 ^ 2 [/ matemáticas]

Esto no es solo [matemáticas] 2 ^ 2 + 3 ^ 2 [/ matemáticas],

es [matemática] 2 ^ 2 + 2 * (2 * 3) + 3 ^ 2 [/ matemática], que es [matemática] 2 * (2 * 3) [/ matemática] más que [matemática] 2 ^ 2 + 3 ^ 2. [/ Matemáticas]

Ahora usando variables,

[matemáticas] (x + y) ^ 2 = (x + y) * (x + y) = x [/ matemáticas] nickles e y dimes para x niñas,

MÁS x nickles y y dimes para y girls.

[matemáticas] = (x * x) + (x * y) + (y * x) + (y * y) [/ matemáticas]

[matemáticas] = x ^ 2 + 2 * x * y + y ^ 2. [/ matemáticas]

Si no incluyo los 2 nickles para 3 niños ni los 3 dimes para dos niñas, cuando cuente mis monedas, tendré 2 niñas con 2 nickles y 3 niños con 3 dimes, pero ninguna niña tendrá dimes y no El chico tendrá nickles.

[matemáticas] 2 ^ 2 = 4. [/ matemáticas]

[matemáticas] 3 ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] 4 + 9 = 13. [/ matemáticas]

Faltan [matemática] 2 * 3 = 6 [/ matemática] nickles y [matemática] 3 * 2 = 6 [/ matemática] monedas de diez centavos.

Eso es 12 monedas faltantes y 13 representadas.

Por lo tanto, asegúrese de multiplicar cada elemento de una cantidad por cada uno de los elementos en la siguiente cantidad cuando encuentre el producto de dos sumas para obtener la respuesta.

Answer 2

La multiplicación es asociativa y también es conmutativa, por lo tanto
[matemáticas] (x + y) ^ 2 = (x + y) \ veces (x + y) [/ matemáticas]
[matemáticas] = x (x + y) + y (x + y) [/ matemáticas] (asociatividad)
[matemáticas] = x. x + x. y + y. x + y. y [/ matemáticas]
Y desde:
[matemáticas] x. y = y. x [/ math] (conmutatividad)

Por lo tanto:
[matemáticas] = x ^ 2 + x. y + y. x + y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 2 + xy + xy + y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 2 + 2 (xy) + y ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2 [/ matemáticas]
Espero que esto lo aclare.
Otra forma de explicarlo es esta

Answer 3

La ayuda geométrica es una excelente manera de entender esto, y después de estudiarla te preguntarás … por qué un novato podría adivinar a priori e incorrectamente ese exponente se distribuiría a través de:
=

Es una generalización natural de la sintaxis del álgebra. El álgebra está lleno de patrones sintácticos, como 2 (x + y) = 2x + 2y, que imitan correctamente los teoremas verdaderos. Es natural generalizar estos patrones sintácticos, en este caso incorrectamente. Una notación diferente para los exponentes podría mitigar este error común, pero eso nunca sucederá, así que estudie la imagen …

A veces, las sugerencias de sintaxis funcionan de otra manera, dándonos una idea de dónde no había antes. Por ejemplo, usar un símbolo de “división” para la derivada dy / dx de una función y = f (x), sugiere que tal vez podamos multiplicar por dx. Técnicamente esto no tiene sentido. El símbolo es una idea única que representa el límite de [f (x + h) – f (x)] / h cuando h se acerca a cero. No obstante, el símbolo sugiere tratar las variables dy y dx como variables, y permitir la división y multiplicación con ellas, algo que funciona en la práctica y se usa comúnmente a través de ecuaciones diferenciales y cálculos.

Answer 4

Como otros han demostrado tanto geométrica como algebraicamente, no es suficiente multiplicar los exponentes. No pretendo cubrir lo que han escrito, sino ponerlo de una manera realmente muy rudimentaria, cuando considero estas preguntas un tanto “existencialistas” (no lo veo de esta manera, pero es una buena prueba rápida que puede hacer en tu cabeza), podrías verlo como un “juego de conocimiento cero”. No sabes nada con certeza, pero si solo eliges 2 números diferentes para cada una de x e y obtendrás algún resultado para las ecuaciones completas de [matemáticas] (x + y) ^ 2 [/ matemáticas] y [ matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] y simplemente verifique si son lo mismo. No. Así que ahora sabes que para esa combinación de números, obtienes un resultado diferente. Sin embargo, esto no lo prueba para TODOS los números. Entonces lo vuelves a hacer con otros dos números. ¿Son [matemáticas] (x + y) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] lo mismo? No. Entonces, para ese par de números no funciona, etc. Puede gradualmente estar cada vez más convencido de que para la mayoría de los números no habrá [matemáticas] (x + y) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]. Sin embargo, técnicamente todavía no lo sabes con certeza, dado que estás tratando de forzar la respuesta con fuerza bruta.

Al reescribir su propia pregunta, [math] (x + y) ^ 2 [/ math] cuando se expande es igual a [math] (x ^ 2 + y ^ 2) + 2xy [/ math], el bit entre paréntesis es el [ matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática] que usted indicó y esto es, este bit ‘extra’ que denota el término cuadrático adicional. Todo lo que necesita hacer para verificarlo es conectar algunos números (digamos x = 3 e y = 4) verá que [matemáticas] (3 + 4) ^ 2 = 49 [/ matemáticas] en comparación con [matemáticas] 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 25 [/ matemáticas] que obviamente no son lo mismo, la diferencia es 24 que es [matemáticas] 2xy = 2 * 3 * 4 [/ matemáticas]

Answer 5

Otros le proporcionaron el álgebra y le explicaron que la exponenciación no se distribuye sobre la suma, pero aquí hay una forma de pensar sobre esto en términos de geometría:

Este es un cuadrado con lados que tienen longitudes de [matemáticas] x + y [/ matemáticas]. Claramente, el área del cuadrado es [matemáticas] (x + y) ^ 2 [/ matemáticas]. Pero también es igual a la suma de las áreas de las formas en el interior: un cuadrado con área [matemática] x ^ 2 [/ matemática], otro cuadrado con área [matemática] y ^ 2 [/ matemática], y dos rectángulos, con área [matemáticas] xy [/ matemáticas]. El total llega a [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy [/ matemáticas].

Answer 6

Esta es la razón por la cual las ligas deportivas tienen alrededor de 16 equipos, y no como 30.

---

Dos ligas de tamaño regular

Suponga que [math] \ color {blue} {\ textsf {league A}} [/ math] tiene [math] 16 [/ math] equipos, y [math] \ color {green} {\ messagesf {league B}} [ / math] tiene [math] 14 [/ math] equipos.

Entonces, el número total de juegos en [matemática] \ color {azul} {\ textaf {liga A}} [/ matemática] está en el orden de magnitud de [matemática] 16 ^ 2 [/ matemática], ya que cada uno de los 16 equipos tiene que dar la bienvenida a todos los otros equipos. (En realidad es [matemática] 16 \ veces 15 [/ matemática], porque no se aloja a sí mismo).

El número total de juegos en [math] \ color {green} {\ textsf {league B}} [/ math] es aproximadamente [math] 14 ^ 2 [/ math], por lo que, combinados, habrá [math] \ sim16 ^ 2 + 14 ^ 2 \ aproximadamente 450 [/ matemáticas] juegos en las dos ligas.

---

Una liga grande

Sin embargo, si estas ligas se unieran para formar una gran liga con [matemática] 16 + 14 = 30 [/ matemática] equipos, la cantidad total de juegos aumentaría drásticamente a aproximadamente [matemática] (16 + 14) ^ 2 = 900 [ /matemáticas].

Los juegos adicionales que deben organizarse son aquellos en los que cada equipo de [math] \ color {blue} {\ textf {league A}} [/ math] ahora también tiene que recibir a cada equipo de [math] \ color {green} {\ Textsf {League B}} [/ math], y viceversa, produciendo [math] 16 \ times 14 [/ math] + [math] 14 \ times 16 [/ math] más juegos adicionales.

Answer 7

Imaginemos dos cuadrados de los lados X e Y. Ahora unamos estos dos cuadrados. (En aras de la simplicidad, elegir X e Y igual)
Imaginemos otro cuadrado, esta vez de lados X + Y.
Compare las dos salidas finales. Hay un déficit de la región azul.

Esta región azul deficitaria es la razón por la cual [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática] no es igual a [matemática] (x + y) ^ 2 [/ matemática]

Answer 8

(x + y) ²
(x + y) (x + y) la raíz se ha ido.

Ahora ENCUENTRAS las siglas de
(Primero. Exterior. Interior. Último)

x² + xy + yx + y²
borre la confusión de xy + yx a xy + xy porque son simplemente múltiplos.
Ahora tu tienes:

La suma simple x² + xy + xy + y² te da:

x² + 2xy + y² ahora siempre quieres encontrar un término

Di x = 4. Encuentra y.

4² + 2 (4) y + y² = 0

16 + 8y + y² = 0
-16 = -16
8y + y² = -16

luego divida el de ambos lados de la ecuación para hacerlos congruentes.

(8y + y²) = (16)
8 8

y + y² = 2 obtienes esto.

Ahora 2 menos y simplemente no tiene ningún sentido, por lo que debe pensar en la y, por sí misma, como un número injustificable. Así que rascalo.

y² = 2 raíces cuadradas cada una para congruencia. y² = y y 2 con raíz cuadrada = 2

y = 2 ahora dijimos x = 4 y descubrimos que y = 2
Así que … jaja, estoy haciendo esto en mi celular, en matemáticas, generalmente estamos buscando congruencia. Congruencia precisa. Conecte un conjunto múltiple de números para x y encuentre las y correspondientes, luego gráficelos.
(x, y)
(x, y)
(x, y)
(x, y)
(x, y)

Una vez que los grafica, encontrará una correlación; Un gráfico lineal. ¿Terminarás con lo que se llama una parábola? *? Lo cual es una palabra elegante para un gráfico en forma de U.

Espero que esto haya ayudado.

Answer 9

Este diagrama debería ayudarte:

El cuadro verde es un cuadrado con una longitud lateral [matemática] x [/ matemática], por lo que contiene un área [matemática] x ^ 2 [/ matemática]. El cuadro rojo es un cuadrado con una longitud lateral [matemática] y [/ matemática], por lo que contiene un área [matemática] y ^ 2 [/ matemática]. El cuadro exterior es un cuadrado con longitud lateral [matemática] x + y [/ matemática], por lo que contiene área [matemática] (x + y) ^ 2 [/ matemática]. Si observa el cuadro [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y el cuadro [matemática] y ^ 2 [/ matemática] juntos, su área combinada es [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemática]. El área gris es todo lo que “queda” cuando cuadras la suma de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] en lugar de sumar sus cuadrados.

Answer 10

Porque es contradictorio con las reglas matemáticas más básicas.

No tendría sentido ser igual.

Trataré de explicar lo más fácil que pueda para que no tenga que conocer el álgebra lineal en profundidad o algo para entender.

(x + y) ** 2 significa (x + y) * (x + y)
Y hay reglas para la multiplicación.
(x + y) * (x + y) = x ** 2 + 2xy + y ** 2

Entonces tu pregunta es básicamente

“¿Por qué x ** 2 + 2xy + y ** 2 no es igual a x ** 2 + y ** 2 todo el tiempo?”
Si lo haces más simple

“¿Por qué cada x * y no es igual a 0?”

Simplemente porque puedes ENCONTRAR un contraejemplo.
x = 1, y = 2
1 * 2 no es 0.

Answer 11

Muchas personas han dado buenas explicaciones de por qué la afirmación no es válida. Aquí hay un enfoque diferente, considere números complejos

Suponer que

[matemáticas] z = x + iy [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] \ bar {z} = x-iy [/ matemáticas]

Ahora tomemos

[matemáticas] | z | ^ 2 = z \ cdot \ bar {z} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z ^ 2 = (x + iy) \ cdot (x-iy) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z ^ 2 = x ^ 2-i ^ 2y ^ 2 + 2ixy-2ixy [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica z ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]

Este es un caso en el que podemos tener [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] tomando un número complejo. Pero tenga en cuenta que la cuadratura es un número real no es lo mismo que cuadrar un número complejo.

Para un número real, es imposible a menos que [matemática] x = 0 [/ matemática] o [matemática] y = 0 [/ matemática]

---

¿Por qué no es igual a lo que estás buscando? Hay una prueba de ello.

Demuestre que para números reales distintos de cero [matemática] a, b [/ matemática], tanto positivos como negativos, tenemos

[matemáticas] (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (a + b) ^ 2> a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (a + b) ^ 2 \ neq a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora vamos, esto debería ser obvio ahora.

Saludos 🙂

Answer 12

Oye,

Si quiere una explicación gráfica, Viktor T. Toth, señor, lo explicó bien. Solo soy un estudiante de doctorado; Por lo tanto, es posible que no le guste mi respuesta imprudente, ya que lo explicaré con lo más básico.

¿Quién dijo que (X + Y) ^ 2 no es igual a (X ^ 2 + Y ^ 2)? En 2 casos podemos encontrar que esta ecuación es bien extrapolativa.

Ahora suponga que (X + Y) ^ 2 es igual a (X ^ 2 + Y ^ 2)

Entonces, (X + Y) ^ 2 = (X ^ 2 + Y ^ 2 + 2 * X * Y) = (X ^ 2 + Y ^ 2)

o, 2 * X * Y = 0

o, X * Y = 0

La resolución de la ecuación es X = 0 o Y = 0. Entonces, hasta que no tenga ninguno de estos 2 dígitos para ser CERO, es posible que no obtenga su explicación correcta.

Espero que esto ayude 🙂

Answer 13

[matemáticas] donde [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 0 [/ matemáticas]

o [matemáticas] [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 0, [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto, la forma correcta de hacer esta pregunta es:

[matemáticas] donde [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ neq0 [/ matemáticas]

[matemáticas] y [/ matemáticas]

[matemáticas] y \ neq0 [/ matemáticas]

[matemáticas] por qué [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + y) ^ 2 \ neq x ^ 2 + y ^ 2? [/ matemáticas]

Answer 14

(Exceso) Usando el teorema binomial:
[matemáticas] \ displaystyle (x + y) ^ 2 = \ sum_ {r = 0} ^ {2} \ binom {2} {r} x ^ {2-r} y ^ r = \ binom {2} {0 } x ^ 2 + \ binom {2} {1} xy + \ binom {2} {2} y ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 [/ math]
Ahora suponga que [matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]
\ implica [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas]
\ implica [matemáticas] 2xy = 0 [/ matemáticas]
Esto es posible solo si [math] x = 0 [/ math] o [math] y = 0 [/ math] o si está en [math] \ mathbb {F} _ {2} [/ math].
De lo contrario, la ecuación no se mantendrá.

Answer 15

Intentemos responder a esta pregunta de manera muy simple y fácil, sin entrar en explicaciones grandes y profundas.

Primero, recuerde que cuando “cuadra” un número (sumando este pequeño 2), lo multiplica por sí mismo una vez . Así que tienes :

[matemáticas] (x + y) ^ 2 = (x + y) * (x + y) [/ matemáticas]

Intenta desarrollar esto y obtendrás:

[matemáticas] (x + y) * (x + y) = (x + y) * x + (x + y) * y = x * x + y * x + x * y + y * y [/ matemáticas]

Recuerde que [matemáticas] y * x = x * y [/ matemáticas] y que [matemáticas] y * y = y ^ 2 [/ matemáticas]

Por lo tanto: [matemáticas] x * x + y * x + x * y + y * y = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2 [/ matemáticas]

Answer 16

Supongamos que tiene un triángulo rectángulo con lados x, y y z (hipotenusa).
Ahora todos conocemos el famoso teorema de Pitágoras.
x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2

Supongamos que x ^ 2 + y ^ 2 = (x + y) ^ 2
=> x + y = z

Pero en un triángulo, la suma de dos lados siempre es mayor que el tercer lado.
Por lo tanto, la suposición anterior es incorrecta.

Answer 17

La exponenciación no es distributiva sobre la suma, solo es distributiva sobre la multiplicación. (x + y) ^ 2 = (x + y) (x + y) = x (x + y) + y (x + y) = x ^ 2 + xy + yx + y ^ 2, y desde porque xy = yx, se deduce que la expresión anterior es igual a x ^ 2 + xy + xy + y ^ 2 = x ^ 2 + 2xy + y ^ 2, que solo es igual a x ^ 2 + y ^ 2 si 2xy = 0, pero esto requiere que x = 0 o y = 0.

Este es un caso especial de un hecho más general en matemáticas. La exponenciación se conoce como el hiperoperador de orden 3. El hiperoperador de orden 0 se conoce como contar, es un operador S (x) = x + 1 que cuenta hasta el siguiente número. Una aplicación repetida de contar da el siguiente hiperoperador, que es la suma. Podemos mostrar esto repitiendo S (x) y veces, como en S (S (S (… y veces … S (x) …))) = (S ^ y) (x) = x + y. (Aquí, S ^ y significa que S se está aplicando y veces a la entrada x). La suma A (x, y) = x + y es la hiperoperación de orden 1. Ahora, si repetimos la suma z veces, (A ^ z) (x, 0) = 0 + x + x + … z veces … + x = z * x, entonces obtenemos el siguiente hiperoperador, multiplicación, de orden 2. A partir de aquí, es obvio cómo obtener exponenciación, que es de orden 3, y los operadores de orden siguiente, qué tetración, pentación, Etcétera.

El teorema aquí es que el hiperoperador de orden n es bi-lineal (también conocido como distributivo) sobre el hiperoperador de orden n – 1. Escrito matemáticamente, si tenemos un operador H (x, y) [n] tal que a (n) es el elemento de identidad del hiperoperador de orden n, H (x, a (n)) [n] = x, y tal que (H ^ n) (x, a (n)) [ n] = H (x, n) [n + 1], entonces es cierto que H (H (x, y) [n-1], z) [n] = H (H (x, z) [n ], H (y, z) [n]) [n-1].

En resumen, es por eso que x ^ 2 + y ^ 2 no es igual a (x + y) ^ 2

Answer 18

En la aritmética booleana, la exponenciación de primer año funciona. Pero la aritmética de números reales no es aritmética booleana. En aritmética booleana, la razón por la que funciona la exponenciación de primer año es que para cualquier elemento a de un anillo booleano, a + a = 0. Pero en la aritmética de números reales, solo un número r tiene la propiedad de que r + r = 0, es decir, cero en sí. Dado que la exponenciación de primer año es una regla aplicada a una expresión que representa una afirmación universalmente cuantificada sobre los números en el sistema aritmético de uno, es una discusión falsa sobre la aritmética de números reales, pero se mantiene en la aritmética booleana.

Answer 19

z = [matemáticas] (x + y) ^ 2 [/ matemáticas] es un cilindro parabólico.

z = [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] es un paraboloide infinito.
Estos son dos gráficos diferentes.

La ecuación [matemáticas] (x + y) ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 [/ matemáticas] produce un par de líneas que se intersectan.
La única solución de la ecuación anterior está en el punto de origen.

Answer 20

Es como si preguntaras “¿por qué [matemáticas] 5 ^ 2 [/ matemáticas] es igual a [matemáticas] 3 ^ 2 + 2 ^ 2 [/ matemáticas]?” Bueno, porque no lo hace? Quiero decir, ¿porque 25 no es igual a 13?