Cómo resolver esta ecuación: [matemáticas] 2 ^ x + (3 \ veces 2 ^ y) + (3 ^ 2 \ veces 2 ^ z) = 53 [/ matemáticas] con [matemáticas] x> y> z [/ matemáticas ]

Answer 1

Tienes:
[matemáticas] 2 ^ x + 3 * 2 ^ y + 9 * 2 ^ z = 53 [/ matemáticas]

• Ahora tome [math] 2 ^ z [/ math] common y obtendrá:
  [matemática] 2 ^ z * [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] 2 ^ (xz) [matemática] + 3 * [/ matemática] 2 ^ (yz) [matemática] + 9 [/ matemática] [matemática ]) [/ matemáticas] [matemáticas] = 53 [/ matemáticas]
  Pero 53 no es divisible por 2, por lo que en el LHS z debe ser igual a 0.
  Entonces, z = 0.

Entonces, ahora la ecuación se convierte en:
[matemáticas] 2 ^ x + 3 * 2 ^ y + 9 = 53 [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] 2 ^ x + 3 * 2 ^ y = [/ matemáticas] [matemáticas] 44 [/ matemáticas]

• Ahora tome [matemáticas] 2 ^ y [/ matemáticas] común y obtendrá:
  [matemática] 2 ^ y [/ matemática] [matemática] * [/ matemática] [matemática] ([/ matemática] 2 ^ (xy) [matemática] + 3) [/ matemática] [matemática] = 44 [/ matemática]
  La potencia máxima de 2 por la cual 44 es divisible es [matemática] 2 ^ 2. [/ math] Entonces, en LHS y = 2
  Entonces, y = 2.

Entonces, ahora la ecuación se convierte en:
[matemáticas] 4 ([/ matemáticas] 2 ^ (x-2) [matemáticas] +3) = 44 [/ matemáticas]
es decir, 2 ^ (x-2) [matemáticas] +3 [/ matemáticas] [matemáticas] = 11 [/ matemáticas]
es decir, 2 ^ (x-2) [matemáticas] = 8 [/ matemáticas]
es decir, 2 ^ (x-2) [matemáticas] = 2 ^ 3 [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] (x-2) = 3 [/ matemáticas]
es decir, [matemáticas] x = 5 [/ matemáticas]

• Entonces, x = 5.

Por lo tanto, esta es la única solución posible.

NOTA: En el paso 2, tuvimos otra opción de tomar y = 1 en lugar de 2. Luego,
[matemáticas] 2 ([/ matemáticas] 2 ^ (x-1) [matemáticas] +3) = 44 [/ matemáticas]
2 ^ (x-1) [matemáticas] +3 = 22 [/ matemáticas]
Pero como puede ver, LHS es impar (para [matemática] x> 2 [/ matemática], dada en la pregunta [matemática] x> y [/ matemática]) mientras que RHS es par. Entonces, no es posible.
Entonces, verificado, esta es la única solución posible.

Answer 2

Con enteros positivos no es posible porque LHS será un número par.

debe haber un número impar en LHS, esto solo puede ser proporcionado por z = 0 .

Entonces [matemáticas] 2 ^ x + 3 * 2 ^ y = 53–9 = 44 [/ matemáticas]

Ahora 44 es [matemáticas] 4 * 11 = 2 ^ 2 * 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {x-2} + 3 * 2 ^ {y-2} = 11 [/ matemáticas]

Nuevamente, para que LHS sea impar, y-2 debe ser 0, es decir, y = 2

con esto [matemáticas] 2 ^ {x-2} = 11–3 = 8 = 2 ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] x-2 = 3 es decir x = 5

El fin.

Answer 3

Se nos dice que todas las variables son enteros positivos. Por lo tanto, z no puede ser 0.

Supongamos, entonces, que el autor se equivoca y que las variables también pueden ser 0.

Los dos últimos términos son múltiplos de 3. Por lo tanto, 53 – 2 ^ x es un múltiplo de 3. Por lo tanto, x puede ser 1, 3 o 5, pero no 2 o 4 (o 0).

Si x = 5, entonces los dos últimos términos suman 21. El último es un múltiplo de 9, por lo que podría ser 9 o 18. Si el último término es 18, el segundo término es 3. Esto significaría x = 5 , y = 0 y z = 1. (Tenga en cuenta que estoy permitiendo que y sea 0.)

Si el último término es 3, obtenemos la respuesta original.

Si x = 3, los dos últimos términos suman 45. Pero el último término debe ser un múltiplo de 9, por lo que el segundo término también debería ser un múltiplo de 9. Esto no es posible.

Si x = 1, entonces los dos últimos términos suman 5l. El último término puede ser 9, 18 o 36. El segundo término puede ser 3, 6, 12, 24 o 48. No hay forma de que estos dos términos sumen 51.

Answer 4

z = 0 no es positivo! Si todas las variables desconocidas son positivas, entonces no hay solución porque el lado izquierdo siempre es par, por lo que no puede ser 53.