¿Cuál es la ecuación cartesiana del círculo de solución general al problema de Apolonio?

Answer 1

Consideramos que estos círculos se encuentran dentro del plano complejo [math] \ mathbb {C} [/ math].

Defina la curva [matemática] k [/ matemática] de un círculo para que sea 1 / radio si el interior del círculo contiene su centro, y -1 / radio de lo contrario. Defina el co-bend [math] k ‘[/ math] para que sea la curva de la imagen del círculo debajo del mapa [math] z \ mapsto 1 / z [/ math]. Defina el centro de curvatura [matemática] \ xi [/ matemática] para que sea el centro multiplicado por la curva.

No es demasiado difícil verificar que [math] -kk ‘+ \ | \ xi \ | ^ 2 = 1 [/ math], por lo que hay una manera bastante fácil de calcular el co-bend si no te gusta trabajar con su definición directa (y no te culparé).

Definimos el mapa de Pedoe

[matemáticas] \ begin {align *} \ pi: \ left \ {\ substack {\ text {círculos orientados} \\ \ text {in} \ mathbb {C}} \ right \} & \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 4 \\ C & \ mapsto \ left (k (C), k ‘(C), \ xi_0 (C), \ xi_1 (C) \ right) \ end {align *} [/ math],

donde [math] \ xi_0, \ xi_1 [/ math] denota las partes real e imaginaria de [math] \ xi [/ math] respectivamente. Definimos una forma bilineal en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math]:

[matemáticas] \ begin {align *} b \ left (\ vec {x}, \ vec {y} \ right) = \ vec {x} ^ T \ begin {pmatrix} 0 & -1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \ vec {y} \ end {align *} [/ math] .

Como dije anteriormente,

[matemáticas] \ begin {align *} b \ left (\ pi (C), \ pi (C) \ right) = 1 \ end {align *} [/ math],

pero esta forma bilineal tiene otra propiedad espléndida. Si [math] C_1, C_2 [/ math] son ​​dos círculos de intersección y [math] \ theta [/ math] es el ángulo en el que se cruzan, entonces

[matemáticas] \ begin {align *} b \ left (\ pi (C_1), \ pi (C_2) \ right) = \ cos (\ theta) \ end {align *} [/ math].

A partir de esto, concluimos que un conjunto de cuatro círculos [matemática] C_1, C_2, C_3, C_4 [/ matemática] forman un cuádruple de Descartes, es decir, todos son mutuamente tangentes entre sí, de modo que sus interiores no se cruzan. si y solo si

[matemáticas] \ begin {align *} b \ left (\ pi (C_i), \ pi (C_j) \ right) = \ begin {cases} 1 & \ text {if} i = j \\ -1 & \ text {de lo contrario} \ end {cases} \ end {align *} [/ math],

o equivalentemente, si definimos

[matemáticas] \ displaystyle \ Lambda = \ left (\ pi (C_1), \ pi (C_2), \ pi (C_3), \ pi (C_4) \ right), [/ math]

entonces

[matemática] \ begin {align *} \ Lambda ^ T \ begin {pmatrix} 0 & -1/2 & 0 & 0 \\ -1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \ Lambda & = \ begin {pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & – 1 y 1 y -1 \\ -1 y -1 y -1 y 1 \ end {pmatrix} \ end {align *} [/ math].

Esto es más fácil de reorganizar un poco. Toma el inverso de ambos lados

[matemáticas] \ begin {align *} \ Lambda ^ {- 1} \ begin {pmatrix} 0 y -2 y 0 y 0 \\ -2 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 1 y 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} {\ Lambda ^ T} ^ {- 1} & = \ frac {1} {4} \ begin {pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 y 1 y -1 y -1 \\ -1 y -1 y 1 y -1 \\ -1 y -1 y -1 y 1 \ end {pmatrix} \ Lambda \ end {align *} [/ math ]

y reorganizar

[matemáticas] \ begin {align *} 4 \ begin {pmatrix} 0 y -2 y 0 y 0 \\ -2 y 0 y 0 y 0 \\ 0 y 0 y 1 y 0 \\ 0 y 0 y 0 y 1 \ end {pmatrix} & = \ Lambda \ begin {pmatrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \ \ -1 & -1 & -1 & 1 \ end {pmatrix} \ Lambda ^ T \ end {align *} [/ math].

Esto te dice, en particular, que

[matemáticas] \ left (k (C_1) + k (C_2) + k (C_3) + k (C_4) \ right) ^ 2 = 2 \ left (k (C_1) ^ 2 + k (C_2) ^ 2 + k (C_3) ^ 2 + k (C_4) ^ 2 \ derecha)) [/ matemáticas]

para que puedas calcular la curva fácilmente. Calcular el centro de curvatura es un poco más difícil, pero no mucho.