¿Qué significa “prácticamente” cuando manipulamos la ecuación y luego reemplazamos los valores de x con ceros al resolver los límites? ¿Por qué se realiza la manipulación antes de reemplazar los valores?

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¿Qué significa “prácticamente” cuando manipulamos la ecuación y luego reemplazamos los valores de x con ceros al resolver los límites? ¿Por qué se realiza la manipulación antes de reemplazar los valores?

En términos más generales, podemos cambiar “reemplazar los valores de x con ceros” a “reemplazar los valores de x con el valor límite”.

Hacemos esto cuando el límite original no puede evaluarse mediante sustitución (a menudo debido a la división por cero), pero con alguna manipulación algebraica, podemos encontrar un límite equivalente que puede evaluarse mediante sustitución directa. Esta práctica se basa en estas dos observaciones:

1. Si [math] f (x) [/ math] es continuo en [math] x = a [/ math] , entonces [math] \ lim_ {x \ to a} f (x) = f (a) [/ math ] Es decir, tales límites pueden evaluarse por sustitución.
2. Si dos funciones [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] son idénticos excepto en un número finito de puntos, entonces sus límites son equivalentes (es decir, son iguales en todas partes donde existan). Por ejemplo, si [matemática] f (x) = g (x) [/ matemática] cuando [matemática] x \ ne 4 [/ matemática], y [matemática] \ lim_ {x \ to4} g (x) = 2 [/ math], luego también [math] \ lim_ {x \ to4} f (x) = 2 [/ math].

En los siguientes ejemplos, la notación [math] \ stackrel {(1)} {=} [/ math] y [math] \ stackrel {(2)} {=} [/ math] se usa para mostrar dónde aplicamos esos reglas:

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 2} \ frac {x-2} {x ^ 2–4} = \ lim_ {x \ to 2} \ frac {x-2} {(x-2) ( x + 2)} \ stackrel {(2)} {=} \ lim_ {x \ to 2} \ frac {1} {x + 2} \ stackrel {(1)} {=} \ frac {1} {4 }[/matemáticas]

• Estamos utilizando el hecho de que las funciones [matemáticas] f (x) = \ dfrac {x-2} {x ^ 2–4} [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = \ dfrac {1} {x +2} [/ math] son ​​idénticos excepto cuando [math] x = 2 [/ math], y también el hecho de que [math] g (x) [/ math] es continuo en [math] x = 2 [/ math ] (aunque [math] f (x) [/ math] no lo es).

[matemáticas] \ begin {align *} \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sqrt {9 + x} -3} {x} & = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac { \ left (\ sqrt {9 + x} -3 \ right) \ left (\ sqrt {9 + x} +3 \ right)} {x \ left (\ sqrt {9 + x} +3 \ right)} \ \ & = \ displaystyle \ lim_ {x \ to 0} \ frac {9 + x-9} {x \ left (\ sqrt {9 + x} +3 \ right)} \\ & \ stackrel {(2)} {=} \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {1} {\ sqrt {9 + x} +3} \ stackrel {(1)} {=} \ frac {1} {6} \ end { alinear *} [/ matemáticas]

• [matemáticas] f (x) = \ dfrac {\ sqrt {9 + x} -3} {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] g (x) = \ dfrac {1} {\ sqrt {9 + x} +3} [/ math] son ​​idénticos excepto cuando [math] x = 0 [/ math].