¿Qué significa cuando la solución de la ecuación diferencial parcial es un número complejo? ¿Qué significa tener la fuerza como un número complejo?

Como dice Henning Breede, la solución es una función. Si ha mapeado variables del mundo real en números complejos, entonces una solución compleja tiene sentido. Por ejemplo, en la teoría de la corriente alterna es común usar números complejos. No son necesarios, pero simplifican considerablemente las fórmulas.

Si solo los números reales tienen sentido en su problema, la solución aún puede involucrar números complejos. Tomaré una ecuación diferencial ordinaria como ejemplo. Suponga que desea resolver [math] y ” = – y [/ math]. Esto representa un movimiento armónico simple. La solución es de la forma [math] y = Acos (x) + Bsin (x) [/ math] donde [math] A [/ math] y [math] B [/ math] deben elegirse para que coincidan con las condiciones iniciales .

Pero también puede resolver esto adivinando que la solución es [math] e ^ {kx} [/ math].

Entonces [matemática] k ^ 2 e ^ {kx} = – e ^ {kx} [/ matemática], entonces [matemática] k ^ 2 = -1 [/ matemática], es decir [matemática] k = i [/ matemática] o [matemáticas] k = -i. [/ matemáticas]

Las soluciones son [matemáticas] y = Ce ^ {ix} + De ^ {- ix}. [/ Matemáticas]

Pero puede escribir esto como [matemáticas] y = 0.5 (C + D) \ cos (x) + i 0.5 (CD) \ sin (x) [/ matemáticas].

Aunque esto parece involucrar números imaginarios, puede elegir [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] para que esto sea puramente real. De hecho, si [math] DC = 2iB [/ math] y [math] D + C = 2A [/ math] recuperamos la solución anterior.

¿Por qué usar números complejos en este caso? No es necesario, pero esta técnica es muy útil para ecuaciones diferenciales lineales más complicadas.

Para un ejemplo de ecuación diferencial parcial, mira cómo d’Alembert resolvió la ecuación de onda.

La solución de un PDE es una función.

Entonces mi suposición más cercana es que esto significa una función que es constante.

Y que usted (u otra persona) cometió un error al resolverlo. Como esa es una solución bastante inusual, aunque la solución trivial [matemática] 0 [/ matemática] es a menudo una.