¿Cuál es la ecuación que describe el movimiento de una masa al final de la primavera?

Answer 1

Asumiré un movimiento 1 Dimensional para un resorte donde su extremo está en el origen dirigido a lo largo del eje x .

• El enfoque de la escuela secundaria:

Debes conocer la ecuación

[matemáticas] F = -kx [/ matemáticas]

donde [matemática] F [/ matemática] es la fuerza ejercida sobre el resorte, [matemática] k [/ matemática] es la constante del resorte y [matemática] x [/ matemática] es el desplazamiento.

También debes saber la ecuación

[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]

donde [matemática] F [/ matemática] es la fuerza que actúa sobre la masa, [matemática] m [/ matemática] es la masa de la masa y [matemática] a [/ matemática] es su aceleración.

No olvides [matemáticas] a = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} + \ frac {k} {m} x = 0 [/ matemáticas].

Esa es tu ecuación de movimiento.

• El enfoque de pregrado:

Energía cinética, [matemática] T = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática].

Energía potencial, [matemática] V = \ frac {kx ^ 2} {2} [/ matemática].

Lagrangiano, [matemáticas] L = TV = \ frac {1} {2} mv ^ 2- \ frac {kx ^ 2} {2} [/ matemáticas].

Eqs de Euler-Lagrange, [matemáticas] \ frac {d} {dt} \ frac {dL} {dv} = \ frac {dL} {dx} [/ matemáticas].

Entonces,

[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ frac {dL} {dv} = ma [/ math]

[matemáticas] \ frac {dL} {dx} = – kx [/ matemáticas]

que por supuesto, produce la misma ecuación que antes. Lo bueno de los lagrangianos es que puedes poner más cosas como el potencial gravitacional o las restricciones (movimiento restringido a un círculo, por ejemplo).

Answer 2

Las ecuaciones diferenciales se pueden usar para modelar

• La depresión de una viga cuando se carga con un determinado momento (en función del punto a lo largo de la longitud de la viga).
• Movimiento complicado de cuerpos sólidos (lo que la gente de ingeniería mecánica llama dinámica). Los resortes no son el único tipo de movimiento modelado por ecuaciones diferenciales
• Tasas de reacción bioquímica en alguna vía biológica, como la apoptosis de las células, la progresión a través del ciclo celular o incluso la expresión génica y las concentraciones de proteínas resultantes. (Estos tienden a resolverse numéricamente ya que los modelos de procesos biológicos tienden a requerir ecuaciones diferenciales demasiado complejas para resolver a mano, incluso cuando se simplifica enormemente)
• Casi toda la mecánica de fluidos y, por lo tanto, la aeronáutica y los sistemas de agua de todo tipo. Incluso muchos de los problemas de mecánica de fluidos más simples tienden a resolverse con ecuaciones diferenciales, y las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan son en realidad ecuaciones diferenciales parciales no lineales notorias por su dificultad.
• Circuitos, hasta cierto punto. Se pueden modelar con las ecuaciones diferenciales correctas, pero en realidad las transformadas de Fourier y Laplace se usan con frecuencia para oscurecer un poco (¡curiosamente, estas ecuaciones pueden parecer matemáticamente sistemas de primavera!)
• Problemas de transferencia de calor y masa (es decir, difusión de calor y partículas). Estos usan una versión modificada de la “ecuación de calor” (como se le conoce matemáticamente, y una de las ecuaciones diferenciales parciales más simples que existen) para explicar también cosas como la producción de materia o calor, la convección y las reacciones químicas (en el caso de transferencia masiva).

Las ecuaciones diferenciales realmente se usan básicamente en todas partes en ciencia e ingeniería.

Answer 3

Es la ecuación del oscilador armónico y se ve así:

[matemática] \ frac {\ parcial ^ 2} {\ parcial t ^ 2} x (t) = – \ omega ^ 2 \ x (t) [/ matemática]

Donde [math] x (t) [/ math] es cualquier función oscilatoria, y [math] \ omega ^ 2 = \ frac {k} {m} [/ math]

Aquí [math] m [/ math] es la masa en el resorte, y [math] k [/ math] es la constante del resorte, que es la cantidad de fuerza requerida para extender el resorte en una longitud de 1 metro (si se usa Unidades SI).

El ejemplo más básico es el oscilador armónico simple que se describe mediante [math] x (t) = A sin (\ omega x) [/ math] – donde [math] A [/ math] es la amplitud del movimiento. Si pones eso en la ecuación anterior, deberías ver que es verdad.

En términos más generales, la solución toma la forma [matemáticas] x (t) = Ae ^ {i (\ omega t + \ phi)} + Be ^ {- i (\ omega t + \ phi)} [/ matemáticas]

donde [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] son ​​números complejos y [matemática] \ phi [/ matemática] es un ángulo de fase que se utiliza principalmente para representar el movimiento que no comienza desde el centro punto de equilibrio. Si pone esto en la ecuación del oscilador armónico anterior, nuevamente debería ver que es cierto.

Answer 4

La segunda ley de Newton establece que [math] \ mathbf {F} = \ frac {d \ mathbf {p}} {dt} [/ math], que es una ecuación diferencial. Por lo general, se escribe como [math] \ mathbf {F} = m \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} = m \ mathbf {\ ddot x} = m \ mathbf {\ dot v} = m \ mathbf { a} [/ math], pero eso supone que la masa es constante.

Puede escribirlo como [math] \ mathbf {F} = \ mathbf {\ dot p} = \ dot m \ mathbf {v} + m \ mathbf {\ dot v} = \ dot m \ mathbf {\ dot x} + m \ mathbf {\ ddot x} [/ math] si quisieras.

Dado que la segunda ley de Newton es fundamental para la mecánica clásica, las ecuaciones diferenciales son inherentes a toda la mecánica clásica.

Esto se puede ver más claramente cuando se trata de las formulaciones de Lagrange y Hamilton.

La formulación de Lagrange se basa en una propiedad del sistema físico, llamada lagrangiana, escrita como [math] \ mathcal {L} (q_1, q_2, \ ldots, q_n, \ dot {q_1}, \ dot {q_2}, \ ldots , \ dot {q_n} [/ math], escrito en términos de un conjunto de “coordenadas generalizadas” [math] q_i [/ ​​math] y sus derivadas de tiempo [math] \ dot {q_i} [/ math]. Las coordenadas generalizadas deberían describe completamente el sistema, pero no tienen que ser las coordenadas tradicionales [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas]. Es muy común que un lagrangiano pueda escribirse en la forma [matemáticas] \ matemáticas {L} (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot q}) = K (\ mathbf {\ dot q}) – U (\ mathbf {q}) [/ math], donde [math] K (\ mathbf {\ dot q}) [/ math] es la energía cinética, y [math] U (\ mathbf {q}) [/ math] es la energía potencial del sistema.

Por ejemplo, el lagrangiano de un péndulo se puede escribir como [math] \ mathcal {L} (\ theta, \ dot {\ theta}) = \ frac {1} {2} mL ^ 2 \ dot \ theta ^ 2 – (1- mg \ cos \ theta) [/ matemáticas].

Desde el Lagrangiano, puede usar la ecuación de Euler-Lagrange para generar ecuaciones de estado para las variables, siendo la ecuación de Euler-Lagrange:

[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {x_i}} \ right) = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} { \ parcial x_i} [/ matemáticas]

Para nuestro ejemplo de péndulo, eso resulta ser [math] mL ^ 2 \ ddot \ theta = -mg \ sin \ theta [/ math]. Como era de esperar, esta es la misma ecuación diferencial que el tratamiento estándar con la mecánica de Newton.

La formulación de Hamilton se basa en una propiedad diferente del sistema físico, llamada hamiltoniana, que puede derivarse de la lagrangiana. Está escrito como [math] H (q_1, q_2, \ ldots, q_n, p_1, p_2, \ ldots, p_n) [/ math] donde [math] p_i [/ ​​math] son ​​los “momentos conjugados” de lo generalizado coordenadas Es muy común que el hamiltoniano tenga la forma [matemática] H (\ mathbf {q}, \ mathbf {p} = K (\ mathbf {p}) + U (\ mathbf {q}) [/ math] y ser igual a la energía total.

Por ejemplo, en el caso del péndulo, el impulso [matemática] p = mL ^ 2 \ dot \ theta [/ matemática], entonces [matemática] K (p) = \ frac {p ^ 2} {2mL ^ 2} [/ math], y entonces el hamiltoniano es [math] H (\ theta, p) = \ frac {p ^ 2} {2mL ^ 2} + (1-mg \ cos \ theta) [/ math].

Desde Hamilton, puede usar las ecuaciones de Hamilton para generar las ecuaciones de estado, siendo las ecuaciones de Hamilton [matemáticas] \ dot {p_i} = – \ frac {\ partial H} {\ partial q_i}, \ dot {q_i} = \ frac {\ partial H} {\ partial p_i} [/ math].

Para nuestro ejemplo de péndulo, eso nos da las dos ecuaciones [math] \ dot {p_i} = mg \ sin \ theta, \ dot {\ theta} = \ frac {p} {2mL ^ 2} [/ math].

Answer 5

DiffEq cubre la mayoría de los sistemas que tienen una sola variable que varía con el tiempo. Cohetes, desintegración radiactiva, dinámica de la población, mecánica orbital, cosas así. Si tiene más de una variable, entonces usa PDE para cubrir cosas como flujo de fluidos, termodinámica, física cuántica y relatividad general.

Answer 6

Las ecuaciones diferenciales pueden describir cantidades que varían con respecto a otras cantidades. Como caracterizamos las teorías físicas de esta manera, cada teoría física implica ecuaciones diferenciales.