Si desea ver una derivación completa de las ecuaciones de Friedmann, la he reproducido en esta respuesta aquí:
¿Cómo predicen las ecuaciones de campo de Einstein un universo en expansión?
Lo deriva al afirmar que el universo es isotrópico y homogéneo, y así lo describe la métrica FLRW. Luego restringe la métrica FLRW utilizando las Ecuaciones de campo de Einstein, que generan las dos ecuaciones de Friedmann.
Así que podría decir “porque las matemáticas lo dicen, mira, lee esto”
- Cómo determinar cuántas soluciones reales diferentes tiene la ecuación ax ^ 2 + bx + c = 0 cuando a, byc son enteros
- ¿Cuándo dos ecuaciones cuadráticas no tienen raíces en común? Me refiero a indicar la condición.
- He creado un código para resolver un sistema de 6 ecuaciones en 6 incógnitas. Cuando trato de resolverlos juntos, MATLAB crea una nueva variable z. ¿Por qué?
- ¿Qué significa “prácticamente” cuando manipulamos la ecuación y luego reemplazamos los valores de x con ceros al resolver los límites? ¿Por qué se realiza la manipulación antes de reemplazar los valores?
- ¿Cuál es el significado de la ecuación [matemáticas] \ left [D_n \ right] = \ sigma [/ math]?
Pero hay una manera más fácil (más o menos). Para hacerlo, tenemos que volver a la métrica FLRW de la que se derivan las relaciones de Friedmann:
[matemáticas] c ^ 2 d \ tau ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2 – a (t) ^ 2 \ left (\ frac {dr ^ 2} {1-kr ^ 2} + r ^ 2 d \ theta ^ 2 + r ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) d \ phi ^ 2 \ right) [/ math]
OKAY.
Entonces, veamos las unidades . El término interesante es el término [matemáticas] \ frac {1} {1- kr ^ 2} [/ matemáticas].
Debido a que estamos quitando [math] kr ^ 2 [/ math] de [math] 1 [/ math] (un número adimensional), debemos tener que [math] kr ^ 2 [/ math] es adimensional.
Tenemos la opción de:
- Dejar [math] k = \ {0, \ pm 1 \} [/ math], para indicar curvatura positiva / negativa / cero
- en cuyo caso [math] k [/ math] no tiene dimensión.
- Lo que debe significar [matemáticas] r [/ matemáticas] también es adimensional, para [matemáticas] [kr ^ 2] = 1 [/ matemáticas]
- [matemática] a (t) [/ matemática] absorbe cualquier número de curvatura y se convierte en dimensión completa , con una dimensión de longitud: [matemática] [a] = L [/ matemática]
- Deje [math] k = \ kappa [/ math], una constante de curvatura dimensional
- [matemáticas] [r] = L [/ matemáticas], es decir, tiene longitud
- Por lo tanto, [math] [\ kappa] = L ^ {- 2} [/ math] para cancelar con [math] r ^ 2 [/ math]
- [math] dr ^ 2 [/ math] ahora tiene unidades de longitud, por lo que [math] a [/ math] no tiene dimensiones
Puede cambiar entre cualquiera de estos: no hace ninguna diferencia, todo lo que está haciendo es absorber constantes dimensionadas en [math] k [/ math] o [math] a [/ math].
Usaré la primera de estas viñetas , pero tenga en cuenta que el método alternativo funciona exactamente igual.
Entonces, consideremos que conocemos la primera parte de la primera ecuación de Friedmann:
[matemáticas] \ left (\ frac {\ dot {a}} {a} \ right) ^ 2 = \ frac {8 \ pi G} {3} \ rho + f (k) [/ math]
Donde [math] f (k) [/ math] es alguna función que depende de [math] k [/ math]
Podemos suponer que es lineal en [matemáticas] k [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] f (k) = \ beta k [/ matemáticas]
¿Qué dimensiones debe tener [math] \ beta [/ math]?
Sabemos:
- [matemáticas] [a] = L [/ matemáticas] (según mi convención elegida)
- [matemáticas] [\ dot {a}] = LT ^ {- 1} [/ matemáticas]
- Punto = diferenciación con respecto al tiempo [matemáticas] [\ frac {d} {dt}] = T ^ {- 1} [/ matemáticas]
Por lo tanto, para la consistencia dimensional, todos los componentes individuales de las ecuaciones de Friedmann deben tener la misma dimensión que la primera parte:
[matemática] [\ beta k] = \ izquierda (\ frac {LT ^ {- 1}} {L} \ derecha) ^ 2 [/ matemática]
Lo que se simplifica a:
[matemáticas] [\ beta k] = T ^ {- 2} [/ matemáticas]
Ahora, según mi definición, [matemáticas] [a] = L [/ matemáticas], lo que debe significar que [matemáticas] [k] = 1 [/ matemáticas]
Y por lo tanto:
[matemáticas] [\ beta] = T ^ {- 2} [/ matemáticas]
Entonces.
Necesitamos determinar cuáles pueden ser nuestros ingredientes para [math] \ beta [/ math]
¿Qué más aparece en la métrica FLRW y que podemos poner allí?
- Estamos en relatividad, así que [matemáticas] c [/ matemáticas] siempre es una buena apuesta.
- [matemática] a [/ matemática] aparece en la métrica
Eso es practicamente todo. No hay demasiados ingredientes para jugar.
Por lo tanto, suponemos que:
[matemáticas] \ beta = \ delta c ^ {x} a ^ {y} [/ matemáticas]
Donde [math] \ delta [/ math] es una constante adimensional, y [math] x [/ math] y [math] y [/ math] deben determinarse:
Utilizando:
- [matemáticas] [\ beta] = T ^ {- 2} [/ matemáticas]
- [matemáticas] [c] = LT ^ {- 1} [/ matemáticas]
- [matemáticas] [a] = L [/ matemáticas]
Tenemos:
[matemáticas] T ^ {- 2} = (LT ^ {- 1}) ^ x L ^ y [/ matemáticas]
[matemáticas] T ^ {- 2} = L ^ {x + y} T ^ {- x} [/ matemáticas]
Bueno, no tenemos [matemática] L [/ matemática] a la izquierda, por lo que debemos tener [matemática] x = – y [/ matemática], y para que coincida con el lado izquierdo, necesitamos [matemática] x = 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[matemáticas] \ beta = \ frac {\ delta c ^ 2} {a ^ 2} [/ matemáticas]
Y por lo tanto:
[matemáticas] \ boxed {~~~~~~~~ f (k) = \ delta \ frac {kc ^ 2} {a ^ 2} ~~~~~~~~} [/ math]
Si tu quieres saber:
- Por qué es lineal en [matemáticas] k [/ matemáticas]
- ¿Qué es [matemáticas] \ delta [/ matemáticas]
Entonces no tienes más remedio que hacer la derivación completa.
¡Pero logramos obtener el factor de [matemáticas] a ^ {- 2} [/ matemáticas] allí sin hacer nada demasiado horrible!
Espero que haya ayudado.