Digamos [matemáticas] f (x) = x ^ {3} -4 \ cdot {x} -8 [/ matemáticas]
Queremos encontrar [matemáticas] x [/ matemáticas] de modo que [matemáticas] f (x) = 0. [/ Matemáticas]
Observe que [matemáticas] f (2) = -8 [/ matemáticas] y [matemáticas] f (3) = 7 [/ matemáticas]
Esto implica que hay al menos una raíz entre 2 y 3.
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Ahora podemos proceder por el método de Newton: Wikipedia para aproximar la raíz.
Seleccionamos [matemáticas] x_ {0} = 3 [/ matemáticas] y aplicamos la fórmula recursiva [matemáticas] x_ {n + 1} = x_ {n} – \ frac {f (x_ {n})} {f ‘( x_ {n})} [/ math]
[matemáticas] \ implica x_ {1} = 2.695652174 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x_ {2} = 2.650400798 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x_ {3} = 2.649436348 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica x_ {4} = 2.649435914 [/ matemáticas]
¿Observa cómo después de cada iteración nuestra aproximación mejora y mejora? La brecha entre dos aproximaciones sucesivas [matemáticas] x_ {n + 1} -x_ {n} = \ Delta x [/ matemáticas] se vuelve cada vez más pequeña. Hagamos algunas iteraciones más.
[matemáticas] x_ {5} = 2.649435914 [/ matemáticas]
Lo y he aquí! [matemáticas] x_ {5} = x_ {4} [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] Así que esa es la mejor aproximación que mi calculadora puede darte give
Se puede demostrar que esta es la única raíz real de la ecuación, pero dejaré esa parte por ahora.
Ahora bien, este era el enfoque numérico del problema. Déjame darte una introducción a una analítica.
Procedemos haciendo una sustitución [math] x = y + \ frac {k} {y}, [/ math] donde [math] k [/ math] es una constante que determinaremos más adelante.
Nuestra ecuación ahora se convierte
[matemáticas] (y + \ frac {k} {y}) ^ {3} -4 (y + \ frac {k} {y}) – 8 = 0 [/ matemáticas]
Usando el teorema binomial obtenemos:
[matemáticas] y ^ {3} + \ frac {k ^ {3}} {y ^ {3}} + 3k (y + \ frac {k} {y}) – 4 (y + \ frac {k} {y} ) -8 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica y ^ {3} + \ frac {k ^ {3}} {y ^ {3}} + (3k-4) (y + \ frac {k} {y}) – 8 = 0 [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que si elegimos [math] k = \ frac {4} {3}, [/ math] el término [math] y + \ frac {k} {y} [/ math] desaparece. Esto resultará ser muy útil. A ver más.
[matemáticas] k = \ frac {4} {3} \ implica y ^ {3} + \ frac {(\ frac {4} {3}) ^ {3}} {y ^ {3}} – 8 = 0 [/matemáticas]
¡Ajá! Esta ecuación es muy trivial de resolver. Nuevamente hacemos una sustitución:
[matemáticas] y ^ {3} = u \ implica u + \ frac {64} {27u} -8 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica u ^ {2} -8u + \ frac {64} {27} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica u = \ frac {8 \ pm \ sqrt {64- \ frac {256} {27}}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica u = 4 (1 \ pm \ sqrt {\ frac {23} {27}}) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica y ^ {3} = 4 (1 \ pm \ sqrt {\ frac {23} {27}}) [/ matemáticas]
Así que ahora tenemos todas las soluciones a la ecuación dada: reales y complejas.
Simplemente calcule los valores de [math] y [/ math] tomando la tercera raíz del lado derecho y sustituya estos valores nuevamente en la ecuación [math] x = y + \ frac {k} {y}, [/ math] con [matemáticas] k = \ frac {4} {3}. [/ matemáticas]