Una forma de formalizar esto sería definir primero el problema del valor inicial:
[matemáticas] \ displaystyle x ‘(t) = f (x (t)), x (t = 1) = x_1 [/ matemáticas]
y luego querer aprender sobre lo que sucede cuando [matemática] t <1. [/ matemática] En algunos casos, esta pregunta está bien definida y, de hecho, puede aprender sobre el pasado del sistema específico ejecutando la solución al revés.
Y luego está la ecuación del calor:
- Encuentra la ecuación del círculo con un radio de 13 ^ 1 / 2unidades y tocando 2x-3y + 1 = 0 en (1,1)?
- Encuentre la ecuación del círculo cuyo centro se encuentra en la línea x-4y = 1 y que pasa por el punto 3,7 y 5,5.
- ¿Cómo encontraría las intersecciones x de una parábola usando el vértice (-1.5, -12.5) y la intersección y (0, -8)?
- ¿Cuál es la ecuación de hamilton jacobi?
- Cómo resolver esta ecuación: X ^ 3 -4X-8 = 0
[matemáticas] \ displaystyle u_t = u_ {xx}. \ tag {1} [/ matemáticas]
La ecuación de calor tiene una propiedad de suavizado frío: si le proporciona datos iniciales (la distribución de la temperatura en una barra, por ejemplo), le mostrará cómo fluirá la temperatura de los lugares cálidos a los fríos hasta que se equilibre.
El gif muestra cómo los datos iniciales discontinuos originales se suavizan instantáneamente mediante la solución de la ecuación de calor 2D.
Para mirar en el pasado, tenemos que resolver la ecuación de calor hacia atrás [1] :
[matemáticas] \ displaystyle u_t = -u_ {xx}. \ tag {2} [/ matemáticas]
Esto es solo (1) bajo el cambio de variables [math] t \ a -t [/ math], por lo que avanzar en el tiempo para (2) es equivalente a retroceder en el tiempo para (1).
Pero, observe cómo podemos quedarnos estancados. Si los datos iniciales se suavizan con la solución de (1), ¿cómo podremos retroceder el tiempo y recuperar los datos iniciales? Después de todo, si esperamos lo suficiente, la ecuación de calor lleva todos los datos iniciales a una imagen muy suave y equilibrada.
La respuesta es: a menudo no podemos . Esto no se debe a que no haya un pasado para describir, por supuesto que sí. Es solo que la ecuación diferencial no puede capturar el pasado (porque “se olvida” de él), excepto por pequeños momentos.
En pocas palabras: Sí, cuando el problema inverso está bien definido, podemos retroceder en el tiempo con la solución y aprender sobre el pasado del sistema. Sin embargo, algunas ecuaciones “olvidan” de dónde provienen y en esos casos no podemos ir hacia atrás (de todos modos, no por mucho tiempo), solo hacia adelante.
Notas al pie
[1] https://people.maths.ox.ac.uk/tr…