¿Cómo se puede graficar la ecuación [matemáticas] y = (- 2) ^ x [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero, todos los argumentos no enteros producirán una salida compleja. Con eso en mente, tenemos algunas formas de graficarlo:

• Trace dos curvas, la parte real [matemáticas] \ Re ((- 2) ^ {x}) [/ matemáticas] y la parte imaginaria [matemáticas] \ Im ((- 2) ^ {x}) [/ matemáticas] en El plano cartesiano.
• Haz un gráfico 3D
• Utilice una transformación de mapa complejo
• Aplica técnicas de coloración para darle una dimensión extra

Las dos primeras formas solo funcionan para argumentos reales, mientras que la cuarta es difícil de visualizar con todos los colores y 3Dness. Admito que el mapa complejo realmente no da una noción de valor de entrada-salida, pero funciona en 2D y las transformaciones suelen ser sorprendentes.

Ahora, creo que una pregunta más importante es cómo obtener el valor de [math] (-2) ^ {x} [/ math] para no entero [math] x [/ math]. Bueno, la propiedad que define la exponenciación es [matemática] b ^ {a + c} = b ^ {a} b ^ {c} [/ matemática]. Entonces

[matemáticas] (-2) ^ {1.5} = -2 (-2) ^ {0.5} = -2 (-2) ^ {\ frac {1} {2}} = -2 \ sqrt {-2} = -2i \ sqrt {2} [/ math].

También podemos hacer esto por irracionales. ¡Solo toma el límite de la fracción continua! Es más seguro usar la propiedad [math] b ^ {ac} = (b ^ {a}) ^ {c} [/ math] porque, como habrás adivinado, incluso los numeradores pueden arruinarlo fácilmente. Para mantener el signo, deje el recíproco del denominador dentro del paréntesis y el numerador afuera.

[matemáticas] (-2) ^ {\ sqrt {2}} \ aprox (-2) ^ {1+ \ frac {1} {2}} = (-2) ^ {3/2} = ((-2 ) ^ {1/2}) ^ 3 = -2i \ sqrt {2} [/ math]

[matemáticas] (-2) ^ {\ sqrt {2}} \ aprox (-2) ^ {1+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {2}}} = (-2) ^ { 1+ \ frac {2} {5}} = -2 ((- 2) ^ \ frac {1} {5}) ^ {2} = -0.8155… – 2.509… i [/ matemáticas]

Se requiere mucho trabajo para obtener la fracción, las raíces y los exponentes continuos, pero bueno: formas cerradas (lo cual no hice debido a la pereza, sin embargo, ¡es factible)!

Genial, argumento real, valores imaginarios, podemos obtener el primer argumento del que hablé.

Se vuelve muy borroso debido a la periodicidad.

Entonces, ¿qué pasa con [matemáticas] (- 2) ^ {z} [/ matemáticas] para un argumento complejo [matemáticas] z [/ matemáticas]? Bueno, es mucho más fácil llegar en forma cerrada (si considera [math] log [/ math] como tal), pero tal vez las aproximaciones se vuelven mucho más difíciles. Vamos a utilizar la función antes mencionada y la famosa Identidad de Euler.

[matemáticas] e ^ {ix} = \ cos {x} + i \ sin {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {z} = e ^ {\ Re {(z)}} e ^ {\ Im {(z)}} [/ matemáticas]

[matemáticas] (-2) ^ {z} = e ^ {\ ln {(- 2 ^ z)}} = e ^ {z \ ln {-2}} = e ^ {z (\ ln {2} + \ ln {-1})} = e ^ {z (\ ln {2} + i \ pi)} [/ math] o [math] -2 ^ {z} e ^ {i \ pi z} [/ math ]

¡Guau, qué belleza, muy cerrada, muy en forma! Ahora, ese mapa complejo que mencioné al principio:

Todas las parcelas y aproximaciones de forma abierta son cortesía de WolframAlpha

Answer 2

Como una función compleja y1 + iy2 = F (x1 + ix2), se puede representar gráficamente en 3D, utilizando ejes
(x1, x2, y1) y (x1, x2, y2), así:

También tengo el método “simple” de proyectar espacio complejo (x1, x2, y1, y2) en una pantalla 2D (u, v). Sabiendo que las funciones complejas como se mencionan representan superficies 4D, esto es apenas más “complejo” que representar superficies 3D en papel …

Entonces, el gráfico 4D se ve así:

Es un caso particular de funciones complejas Y = exp (AX), para más información sobre las cuales vea mi respuesta:
La respuesta de Guido Wuyts a Si tenemos un plano numérico real de dos dimensiones, más una tercera dimensión imaginaria, ¿cuál sería la gráfica de la función f (x) = (-2) ^ x (NO es – (2 ^ x)) ¿me gusta? ¿Sería definido o indefinido?

Answer 3

Realmente … no puede, porque no está definido en un tramo continuo de números reales para hacer un “gráfico”.

Retrocedamos un segundo. ¿Qué significa tomar una potencia no entera de un número positivo?

Bueno, conocemos potencias enteras positivas: [matemáticas] x ^ 3 = x \ veces x \ veces x [/ matemáticas], por ejemplo. También conocemos poderes racionales: [matemática] x ^ {1/2} = \ sqrt {x} [/ matemática], entonces si [matemática] x ^ {a + b} = x ^ ax ^ b [/ matemática] ( una propiedad fundamental de exponenciación que queremos mantener siempre), entonces podemos decir que [math] x ^ {a / b} = \ sqrt [b] {x ^ a} [/ math]. Hasta aquí todo bien.

¿Qué pasa con un número como [math] \ pi [/ math] que no se puede escribir como [math] \ dfrac {a} {b} [/ math] para enteros [math] a [/ math] y [math] b [/ matemáticas]? Bueno, podemos tratar de tomar el límite de un conjunto de números racionales que se acerca cada vez más a [math] \ pi [/ math]. Por ejemplo, podríamos definirlo como el valor que la secuencia

[matemáticas] x ^ 3, x ^ 3.1, x ^ 3.14, x ^ 3.141, x ^ 3.1415 … [/ matemáticas] enfoques. Para que este enfoque sea riguroso, tendrías que usar cálculo, por lo que nos saltaremos eso, pero la esencia es muy simple.

Ahora hemos asumido algo complicado: acabo de decir que [matemáticas] x ^ \ pi [/ matemáticas] es un límite de una secuencia. Algunas secuencias tienen límites: [matemática] \ dfrac {1} {2}, \ dfrac {2} {3}, \ dfrac {3} {4}, \ dfrac {4} {5}, … [/ math] enfoques 1 de una manera matemáticamente rigurosamente definible. Pero eso no es cierto para todas las secuencias. Resulta que es cierto si [matemáticas] x [/ matemáticas] es positivo en nuestro caso, pero su ecuación no es tan agradable.

Un pequeño ejercicio divertido. haga lo que hice anteriormente para la secuencia de números que se aproxima a [matemáticas] x ^ \ pi [/ matemáticas] con un número positivo como 2 y vea a qué se aproxima. Luego pon [math] 2 ^ \ pi [/ math] en una calculadora (realmente solo agrega más iteraciones), y compara.

Esa secuencia claramente se acerca a algo. Pero intente lo mismo con [matemáticas] x = -2 [/ matemáticas]. El problema es que el signo sigue cambiando: si el numerador es par, obtendrá un número entero positivo, de lo contrario, ni siquiera se define en los números reales a menos que el denominador sea impar (lo que no sucede en nuestra secuencia).

No puedes tomar el límite de una secuencia como esa: no existe. Por lo tanto, como hemos definido que eso es lo que significa la expresión [matemáticas] (- 2) ^ \ pi [/ matemáticas] en algún nivel básico, esa expresión tampoco puede existir (al menos en los números reales: si permitir tomar raíces de números negativos y agregar un poco más de rigor, tales cosas pueden ser definibles).

Por lo tanto, no hay realmente una “gráfica” de esa ecuación, porque no existe para la mayoría de los números positivos, e incluso los que existen para el signo de cambio constante.

Answer 4

Realmente no puede ser. Entre los poderes racionales que tienen denominadores impares en los términos más bajos, los valores cambiarán entre positivo y negativo de manera discontinua; si los denominadores de los términos más bajos son pares, los valores son puramente imaginarios; Si el exponente es irracional, es necesario adoptar alguna convención sobre cómo extender la exponenciación al plano complejo, o simplemente dejar esos poderes indefinidos.

Answer 5

Para graficar esto, necesita verlo en 3D.

Aquí hay una versión sin los puntos trazados.

¡Eso es lo que yo llamo hermosa!