¿Cómo se prueba que una onda sinusoidal en un medio sin pérdidas tiene la ecuación?

Answer 1

Un sistema no tiene pérdidas, por ejemplo, si sigue oscilando entre dos puntos. Una forma intuitiva de ver que no tiene pérdidas es comprender que su señal no pierde energía en absoluto, ya que sigue oscilando entre [A, -A], por tiempo infinito. En cuanto a tu pregunta. En la imagen a continuación se muestra la ecuación de onda vectorial .

Que se convertirá para el espacio libre, un vector homogéneo de la ecuación de Helmholtz , que también se muestra a continuación.

En coordenadas cartesianas, el vector homogéneo de la ecuación de Helmholtz es equivalente a tres ecuaciones escalares de Helmholtz . Si considera una onda plana perpendicular a uno de los planos cartesianos [x, y, z], entonces se simplifica a un segundo orden, homogéneo, ODE, donde el campo eléctrico variará de acuerdo con el plano perpendicular que haya elegido, y voila, después de resolver el ODE obtendrá su respuesta.

Answer 2

Supongo que te refieres a una onda electromagnética, ¿verdad? Bajo ese supuesto, las ecuaciones de Maxwell-Heaviside * pueden manipularse para dar

[matemáticas] \ left (\ nabla ^ 2 – \ frac {1} {v_ {ph} ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ right) \ vec E = 0 [/ math ]

y

[matemáticas] \ left (\ nabla ^ 2 – \ frac {1} {v_ {ph} ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ right) \ vec B = 0 [/ math ]

donde [math] \ vec E [/ math] y [math] \ vec B [/ math] son ​​los campos eléctricos y magnéticos, y [math] v_ {ph} [/ math] es la velocidad de fase de la onda en el medio.

Con condiciones de contorno adecuadas (por ejemplo, el medio es de extensión infinita), las soluciones a estas ecuaciones están dadas exactamente por las funciones que menciona en su comentario:

[matemáticas] \ vec E \ propto \ cos (kx \ pm \ omega t + \ delta) [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ omega / k = v_ {ph} [/ matemáticas].

Si lo desea, puede definir la longitud de onda y el período de la onda para reescribirla como

[matemáticas] \ vec E \ propto \ cos (2 \ pi x / \ lambda \ pm 2 \ pi t / T + \ delta) [/ matemáticas]

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Si no estaba hablando de ondas electromagnéticas, entonces la respuesta sigue siendo la misma, excepto por el hecho de que la ecuación diferencial

[matemática] \ left (\ nabla ^ 2 – \ frac {1} {v_ {ph} ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial t ^ 2} \ right) f = 0 [/ math]

se llega por un camino diferente al de la manipulación de las ecuaciones MH. El análisis elemental de una onda en una cuerda, por ejemplo, conduce a una ecuación similar. Esta ecuación diferencial, que se encuentra en muchas, muchas áreas de la física, se llama ecuación de onda .

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* El pobre Heaviside nunca recibe crédito por hacer bonitas las ecuaciones de Maxwell, entonces. Un saludo a Oliver Heaviside.