Para responder a la pregunta del OP, establecer la derivada en cero da [matemática] x (x-2y) = 0 [/ matemática] con dos soluciones [matemática] x = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 2y. [/ math] La combinación de cada uno de ellos con la ecuación de la curva da los dos puntos tangentes horizontales. Cualquiera que sea la coordenada [matemática] y [/ matemática] [matemática] y_0 [/ matemática], nuestras líneas tangentes serán [matemática] y = y_0. [/ Matemática]
Ahora demostraré que su educación matemática en la escuela secundaria y en la universidad no es necesaria para este problema. Podemos hacer cálculos en curvas algebraicas usando solo las matemáticas de la escuela intermedia. La parte más difícil es expandir expresiones como [math] (x + r) ^ 3. [/ Math]
[matemática] 0 = f (x, y) = x ^ 3 – 3x ^ 2y + y ^ 3 – 3 [/ matemática]
[matemáticas] f (x + r, y + s) = (x + r) ^ 3 – 3 (x + r) ^ 2 (y + s) + (y + s) ^ 3 – 3 [/ matemáticas]
- Tengo un coeficiente intelectual de 227 y puedo resolver las ecuaciones de cálculo más complejas en segundos. Entiendo que esas pruebas no eran confiables, pero soy muy bueno en el cálculo y lo he estado haciendo desde que tenía 13 años. ¿Eso significa que todavía tengo un coeficiente intelectual alto?
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[matemáticas] f (x + r, y + s) = x ^ 3 + 3x ^ 2 r + 3 xr ^ 2 + r ^ 3 \ quad – 3x ^ 2 y – 6xry – 3r ^ 2y \ quad – 3x ^ 2 s- 6xrs – 3r ^ 2s \ quad + y ^ 3 + 3y ^ 2 s + 3ys ^ 2 + s ^ 3 \ quad – 3 [/ matemáticas]
Agrupación por grados crecientes en [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]:
[matemáticas] f (x + r, y + s) = r ^ 3 – 3r ^ 2s + s ^ 3 – 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ quad \ quad + \ 3 r (r – 2s) x – 3 (r ^ 2 – s ^ 2) y [/ matemáticas]
[matemáticas] \ quad \ quad + \ 3 (rs) x ^ 2 – 6rxy + 3sy ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ quad \ quad + \ x ^ 3 – 3x ^ 2 y + y ^ 3 [/ matemáticas]
Ahora sustituimos [math] xr [/ math] por [math] x [/ math] y [math] ys [/ math] por [math] y. [/ Math]
[matemáticas] f (x, y) = f ((xr) + r, (ys) + s) = r ^ 3 – 3r ^ 2s + s ^ 3 – 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ quad \ quad + \ 3r (r-2s) (xr) – 3 (r ^ 2 – s ^ 2) (ys) [/ math]
[matemáticas] \ quad \ quad + \ 3r (xr) ^ 2 – 6r (xr) (ys) + 3s (ys) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ quad \ quad + \ (xr) ^ 3 – 3 (xr) ^ 2 (año) + (año) ^ 3 [/ matemáticas]
Al parar en varios grados obtenemos aproximaciones de [matemáticas] f (x, y) [/ matemáticas] para [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] cerca de [matemáticas] (r, s). [/ math] Dado que [math] xr [/ math] y [math] ys [/ math] son pequeños, los poderes superiores son mucho más pequeños. Entonces, partimos de la potencia cero, la constante, para nuestra primera aproximación:
[matemáticas] f_0 (x, y) = r ^ 2 – 3r ^ s + s ^ 3 -3 = f (r, s) = 0 [/ matemáticas]
Tiene sentido como una primera aproximación cerca de [math] (r, s). [/ Math] Dado que suponemos que [math] (r, s) [/ math] está en la curva, [math] f (r, s ) = 0. [/ Matemáticas]
Ir al primer grado:
[matemáticas] f_1 (x, y) = f (r, s) + 3r ^ 2 (xr) – 6rs (xr) – 3 (r ^ 2 – s ^ 2) (ys) [/ matemáticas]
El ajuste [math] f_1 (x, y) = 0 [/ math] da la línea tangente a través de [math] (r, s). [/ Math] Dado que [math] (r, s) [/ math] está en el curva, [matemática] f (r, s) = 0. [/ matemática]
[matemática] 0 = 3r (r-2s) (xr) – 3 (r ^ 2 -s ^ 2) (ys) [/ matemática]
[matemáticas] 3r ^ 2 (1 – 2r) s – 3s (r ^ 2 – s ^ 2) = 3r (r-2s) x – 3 (r ^ 2-s ^ 2) y [/ matemáticas]
El lado izquierdo podría simplificarse, pero me detendré aquí. Observe cómo nuestro método omitió completamente la pendiente para producir la línea tangente directamente. No se necesitaban límites.
Se nos pide que encontremos los puntos de pendiente horizontal o cero. Esos corresponden a [math] y = [/ math] constante, por lo que el coeficiente de [math] x [/ math] debe ser cero. Entonces
[matemáticas] 3r (r-2s) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] r = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] r = 2s [/ matemáticas]
Eso es lo mismo que obtuvo el OP. Lo conseguimos usando las matemáticas de secundaria.
Ahora podemos terminar la pregunta, si llegamos aquí por derivados o secundaria.
En el caso [math] r = 0 [/ math] tenemos la tangente como
[matemáticas] – 3s (- s ^ 2) = – 3 (-s ^ 2) y [/ matemáticas]
[matemáticas] y = s [/ matemáticas]
¿Qué es [matemáticas] s [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = f (0, s) = s ^ 3 – 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] s ^ 3 = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ sqrt [3] {3} x [/ matemáticas]
Soy demasiado vago para comprobarlo ahora.
¿Qué pasa con [matemáticas] r = 2s? [/ Matemáticas]
[matemáticas] 24s ^ 3 – 24s ^ 3 – 9s ^ 3 = – 9s ^ 2 y [/ matemáticas]
[matemáticas] y = s \ quad [/ matemáticas] de nuevo!
[matemáticas] 0 = f (2s, s) = 8s ^ 3 – 12s ^ 3 + s ^ 3 – 3 = -3s ^ 3 -3 [/ matemáticas]
[matemáticas] s ^ 3 = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] s = -1 [/ matemáticas]
[matemáticas] r = -2 [/ matemáticas]
[matemática] y = -1 [/ matemática] para la tangente en [matemática] (- 2, -1). [/ matemática]
Parece que lo hicimos bien. Podemos seguir con el cálculo de la escuela secundaria. Pongamos a cero la suma a través de los términos de segundo grado de nuestra expansión Taylor en la escuela intermedia. Nuevamente asumimos que [math] (r, s) [/ math] está en la curva, [math] f (r, s) = 0. [/ Math]
[matemáticas] 0 = 3r ^ 2 (xr) – 6rs (xr) – 3 (r ^ 2 – s ^ 2) (ys) + 3r (xr) ^ 2 – 6r (xr) (ys) + 3s (ys) ^ 2 [/ matemáticas]
Esa es la cónica tangente a la curva en [math] (r, s). [/ Math]
Pregunta de reflexión: hemos estado asumiendo que [math] (r, s) [/ math] está en la curva, entonces [math] f (r, s) = 0. [/ Math] ¿Qué significan estas ecuaciones cuando [math] (r, s) [/ math] no está en la curva y no establecemos [math] f [/ math] s en cero?