Cómo resolver [matemáticas] (x + 1) ^ 5 + 36x + 36 = 13 (x + 1) ^ 3 [/ matemáticas]

Answer 1

Cuando vea este problema, lo primero que debe tener en cuenta es que encontrar ceros de polinomios generales a mano es una molestia si el grado es 3, es un gran dolor si el grado es 4 y es imposible si el grado es cinco o más alto .

Como se trata de un polinomio de grado cinco, debe esperar que sea “especial”, lo que le permitirá resolverlo con cierta inteligencia. Así que busca la inteligencia.

Lo primero que debe notar es que los dos términos de mayor grado tienen factores de [matemáticas] (x + 1) [/ matemáticas]. Dado que probablemente no desee expandirlos, lo mejor que puede hacer es hacer una sustitución:

[matemáticas] y = x + 1 [/ matemáticas]

Este cambio convierte los dos términos de grado más alto en monomios y deja solo el término de primer grado con una complicación que es fácil de eliminar:

[matemáticas] y ^ 5-13y ^ 3 + 36 (y-1) + 36 = 0 [/ matemáticas]

Y ahora vemos la simplificación que esperábamos ya que faltan todos los términos de grados pares:

[matemáticas] y ^ 5-13y ^ 3 + 36y = 0 [/ matemáticas]

Entonces:

[matemáticas] y (y ^ 4-13y ^ 2 + 36) = 0 [/ matemáticas]

Entonces [matemática] y = 0 [/ matemática] conduce a [matemática] x = -1 [/ matemática] como una solución, y nos queda resolver [matemática] y ^ 4-13y ^ 2 + 36 = 0 [/ matemáticas] para encontrar los otros cuatro.

Así que hemos pasado del grado 5 al grado 4. Eso es progreso. Ahora hay una fuerza bruta, a mano, enfoque, pero (confía en mí en esto) no quieres tener nada que ver con eso. Afortunadamente, el polinomio de grado cuatro solo tiene términos de grado par. Esto sugiere la sustitución:

[matemáticas] u = y ^ 2 [/ matemáticas]

Y debemos resolver la cuadrática simple:

[matemáticas] u ^ 2-13u + 36 = 0 [/ matemáticas]

Esto factores para

[matemáticas] (u-9) (u-4) = 0 \ \ implica \ u = 4, \ u = 9 [/ matemáticas]

Y solo necesitamos “deshacer” las sustituciones para encontrar los valores de [math] x [/ math].

[matemáticas] u = 4 \ \ implica \ y ^ 2 = 4 \ \ implica \ y = \ pm 2 \ \ implica x + 1 = \ pm 2 \ \ implica \ x = 1, \ x = -3 [/ matemáticas ]

Y de manera similar

[matemáticas] u = 9 \ \ implica \ y ^ 2 = 9 \ \ implica \ y = \ pm 3 \ \ implica x + 1 = \ pm 3 \ \ implica \ x = 2, \ x = -4 [/ matemáticas ]

Entonces las soluciones son:

[matemáticas] x \ in \ {- 4, -3, -1, 1, 2 \} [/ matemáticas]

Puede verificar esta solución conectando estos valores a la ecuación original para asegurarse de que ve la igualdad.

Answer 2

(x + 1) ^ 5 + 36x + 36 = 13 (x + 1) ^ 3

(x + 1) ^ 5 + 36 (x + 1) = 13 (x + 1) ^ 3

(x + 1) ^ 5 – 13 (x + 1) ^ 3 + 36 (x + 1) = 0

asignar variable y a igual (x + 1)

y ^ 5 – 13y ^ 3 + 36y = 0

y (y ^ 4 – 13y ^ 2 + 36) = 0

y = 0 o (y ^ 4 – 13y ^ 2 + 36) = 0

si y = 0, entonces

x + 1 = 0, x = -1

si y ^ 4 – 13y ^ 2 + 36 = 0, entonces

(y ^ 2 – a) (y ^ 2 – b) = y ^ 4 – 13y ^ 2 + 36

(-9) * (- 4) = 36 y -9-4 = -13

(y ^ 2 – 9) (y ^ 2 – 4) = 0

o y ^ 2 = 9 o y ^ 2 = 4

si y ^ 2 = 9, entonces y = 3 o -3, entonces x + 1 = 3 o -3, entonces x = 2 o -4

si y ^ 2 = 4, entonces y = 2 o -2, entonces x + 1 = 2 o -2, entonces x = 1 o -3

En conclusión, x = -4, -3, -1, 1 y 2.

Conociendo las soluciones, podría expresar perfectamente las ecuaciones de la siguiente manera:

(x + 4) (x + 3) (x + 1) (x-1) (x-2) = 0

Esta no es la única forma de resolverlo. Podrías haber simplificado completamente y encontrado cada raíz racional.

Answer 3

[matemáticas] (x + 1) ^ 5 + 36x + 36 = 13 (x + 1) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + 1) ^ 5–13 (x + 1) ^ 3 + 36 (x + 1) = 0 [/ matemáticas]

Deje [math] y = x + 1 [/ math]

[matemáticas] \ implica y ^ 5-13y ^ 3 + 36y = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y (y ^ 4-13y ^ 2 + 36) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y (y ^ 2-9) (y ^ 2-4) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = 0, \ pm 2, \ pm 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x + 1 = 0, \ pm 2, \ pm 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = -4, -3, -1, 1, 2 [/ matemáticas]

y hemos terminado

Answer 4

Busque un patrón, que en este caso es X + 1. Observe que 36x + 36 se puede ver como 36 (X + 1).

factorizar un término X + 1 en ambos lados produce: (X + 1) ⁴-13 (X + 1) ² + 36 = 0. Deje z → (X + 1) ²

Z²-13Z + 36 = 0. Resolver para z y sustituir a X. X = -4,2, -3,1

Answer 5

[matemáticas] (x + 1) ^ 5 + 36x + 36 = 13 (x + 1) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1) (x + 1) + 36 (x + 1) = 13 (x ^ 2 + 2x + 1) (x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] (x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 37) (x + 1) = (13x ^ 2 + 26x + 13) (x + 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 1 = 0 [/ matemáticas] o [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 37 = 13x ^ 2 + 26x + 13 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] o [matemáticas] x ^ 4 + 4x ^ 3 – 7x ^ 2 – 20x + 24 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1 [/ matemáticas] o … tú haces el resto.

Answer 6

[matemáticas] (x + 1) ^ 5 +36 (x + 1) = 13 (x + 1) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) ^ 4 -13 (x + 1) ^ 2 + 36 = 0, (x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -1 [/ matemáticas]

Deje [matemáticas] (x + 1) ^ 2 = t [/ matemáticas]

Ahora tienes [matemáticas] t ^ 2 -13t + 36 = 0 [/ matemáticas]

t = (13 + 5) / 2 o t = (13-5) / 2

t = 9 o 4

[matemáticas] (x + 1) ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -4, 2 [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] (x + 1) ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 1, -3 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] x = -4, -3, -1,1,2 [/ matemáticas]

Answer 7

Primero, observe que 36x + 36 = 36 * (x + 1). Entonces obtienes (x + 1) ^ 5–13 * (x + 1) ³ + 36 * (x + 1) = 0.

Factoriza (x + 1) para obtener (x + 1) * [(x + 1) ^ 4–13 * (x + 1) ² + 36] = 0.

Debido a que un producto es 0 exactamente si uno de los factores es 0, obtiene la primera solución si x + 1 = 0: x1 = -1.

Ahora observe que (x + 1) ^ 4 = [(x + 1) ²] ². Sustituir z = (x + 1) ^ 2: z²-13z + 36 = 0

Puedes resolver esa ecuación usando la fórmula normal para ecuaciones cuadráticas, para encontrar las soluciones z1 = 4 y z2 = 9.

La primera solución z1 = 4 = (x + 1) ² le da dos soluciones para x: x2 + 1 = 2 o x3 + 1 = -2 (el cuadrado de 2 y -2 es 4). Esto da x2 = 1 y x3 = -3.

La solución z2 = 9 = (x + 1) ² da dos soluciones más para x: x4 + 1 = 3 y x5 + 1 = -3 (el cuadrado de 3 y -3 es 9). Esto da x4 = 2 y x5 = -4.

En total, obtienes cinco soluciones:

x1 = -1
x2 = 1
x3 = -3
x4 = 2
x5 = -4

Y todas estas son soluciones, porque un polinomio de grado 5 solo puede tener como máximo 5 raíces reales.

Answer 8

[matemáticas] (x + 1) ^ 5 + 36 x + 36 = 13 (x +1) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) ^ 5 + 36 (x + 1) = 13 (x +1) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) ^ 4 +36 = 13 (x + 1) ^ 2 [dividiendo ambos lados entre (x + 1)] [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) ^ 4 – 13 (x + 1) ^ 2 + 36 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] t ^ 2 – 13 t + 36 = 0 [conjunto (x + 1) ^ 2 = t] [/ matemáticas]

[matemáticas] (t-9) (t-4) = 0 [/ matemáticas]

[matemática] O (t-9) = 0 o (t-4) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] Si t-9 = 0, t = 9 es decir (x + 1) ^ 2 = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 1 = \ sqrt9 = x + 1 = ± 3 [/ matemáticas]

Si x +1 = 3, x = 3–1 = 2, si x +1 = -3, x = -3–1 = -4

[matemáticas] Si t -4 = 0 t = 4. (x + 1) ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x + 1 = \ sqrt4, x = ± 2 [/ matemáticas]

Si x +1 = 2, x = 2–1 = 1 [matemática] [/ matemática] x + 1 = -2 [matemática], [/ matemática] x = -2–1 = -3

Como esta es una ecuación de grado 5, -1 también satisface esta ecuación

Por lo tanto x = -4, -3, -1,1,2

Answer 9

[matemáticas] (x + 1) ^ 5 + 36x + 36 = 13 (x + 1) ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) ^ 5 – 13 (x + 1) ^ 3 + 36 (x + 1) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) ((x + 1) ^ 4 – 13 (x + 1) ^ 2 + 36) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) (((x + 1) ^ 2 – 9) ((x + 1) ^ 2 – 4)) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) (x + 1 – 3) (x + 1 + 3) (x + 1 – 2) (x + 1 + 2) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (x + 1) (x – 2) (x + 4) (x – 1) (x + 3) [/ matemáticas]

[matemáticas] x = -4, -3, -1, 1, 2 [/ matemáticas]

Answer 10

Esta es una ecuación quíntica. Primero observe la ecuación. Entonces note la base de los poderes. Puedes resolver 36x + 36 en base (x + 1). Entonces obtienes (x + 1) por un término interno. Esto es (x + 1) ^ 4 – 13 (x + 1) ^ 2 + 36. El lado derecho es 0. Entonces puedes notar que el término interno es cuártico y similar a cuadrático. Necesitas dos números cuya suma es -13 y el producto es 36. Las dos combinaciones te darán 9 y 4, pero negativo. Entonces el término interno se factoriza en ((x + 1) ^ 2 – 9) ((x + 1) ^ 2–4). Luego se resuelve en ((x + 1) – 3) ((x + 1) + 3) ((x + 1) – 2) ((x + 1) + 2). Todo el lado izquierdo es (x + 1) ((x-2) (x + 4)) ((x-1) (x + 3)), y el lado derecho sigue siendo 0. Puede aplicar un cambio de variables para (x + 1) = y, y ve la variable sin agregar más fácilmente. Estas son las raíces de la quintica particular.

Answer 11

(x + 1) {(x + 1) ^ 4–13 (x + 1) ² + 36} = 0

(x + 1) {(x + 1) ²-9} {(x + 1) ²-4} = 0

(x + 1) {(x + 1 + 3) (x + 1–3) (x + 1 + 2} (x + 1–2) = 0

(x + 1) (x + 4) (x-2) (x + 3) (x-1) = 0

x = -1, -4, 2, –3, 1

Answer 12

(x + 1) ^ 5 + 36x + 36 = 13 (x +1) ^ 3

(x + 1) ^ 5 – 13 (x +1) ^ 3 + 36x + 36 = 0

(x + 1) ^ 5 – 13 (x +1) ^ 3 + 36 (x +1) = 0

Pon (x +1) = A, entonces obtienes A ^ 5 – 13 A ^ 3 + 36 A = 0

Tomar un común. A (A ^ 4 – 13 A ^ 2 + 36) = 0

Factorizarlo para obtener A (A ^ 2 – 9) (A ^ 2 – 4) = 0

Si lo factorizas más, obtienes A (A +3) (A – 3) (A + 2) (A – 2) = 0

Poniendo A = 0, obtienes x + 1 = 0. Por lo tanto, x = -1

Poniendo A +3 = 0, obtienes x + 1 +3 = 0. Por lo tanto, x = -4

Poniendo A – 3 = 0, obtienes x + 1 -3 = 0. Por lo tanto, x = 2

Poniendo A +2 = 0, obtienes x + 1 + 2 = 0. Por lo tanto, x = -3

Poniendo A -2 = 0, obtienes x + 1 -2 = 0. Por lo tanto, x = +1

Por lo tanto, los valores de x son -1, +1, 2, -3 y -4

Answer 13

Prueba y error da x = 1 como solución. Se pueden descubrir otros factores mediante la división larga y las técnicas de factorización apropiadas.

Por simple observación, incluso x = -1 resulta ser una raíz 🙂

O bien, podemos reemplazar x + 1 por ‘t’ (entonces x se convierte en t-1) y resolver usando cualquier medio que podamos, y luego sustituir de nuevo para obtener la respuesta final en términos de x.