Las raíces de la ecuación [matemáticas] x ^ 2 + ax + 1 = b [/ matemáticas] son ​​números naturales. ¿Cómo demuestro que [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] es un número compuesto?

Answer 1

Esto no es verdad Bueno, puede que no sea. Si considera que [math] 0 [/ math] es un número natural (que es bastante común hoy en día), entonces la afirmación es falsa y es útil ver por qué.

La ecuación que estamos viendo es [matemática] x ^ 2 + ax + (1-b) = 0 [/ matemática]. Si las raíces son [matemáticas] u [/ matemáticas] y [matemáticas] v [/ matemáticas], debemos tener [matemáticas] x ^ 2 + ax + (1-b) = (xu) (xv) [/ matemáticas] porque Ambos son polinomios de segundo grado con las mismas raíces y el mismo coeficiente principal. En expansión, obtenemos

[matemáticas] a = – (u + v) [/ matemáticas]

[matemáticas] (1-b) = uv [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] a ^ 2 = u ^ 2 + v ^ 2 + 2uv [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 2 = u ^ 2v ^ 2-2uv + 1 [/ matemáticas]. Sumando estos, encontramos

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = u ^ 2v ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + 1 = (u ^ 2 + 1) (v ^ 2 + 1) [/ matemáticas].

Ahora, nos dijeron que [math] u [/ math] y [math] v [/ math] son ​​números naturales. Entonces [math] u ^ 2 + 1 [/ math] y [math] v ^ 2 + 1 [/ math] también son números naturales, y su producto es un número compuesto siempre que ninguno de ellos sea [math] 1 [/ math ] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas]. Es fácil descartar [matemáticas] -1 [/ matemáticas], pero ¿y si [matemáticas] u ^ 2 + 1 = 1 [/ matemáticas]?

Su prueba está incompleta si no analiza este caso . Independientemente de si incluye o no [matemáticas] 0 [/ matemáticas] entre los números naturales, debe indicar este caso antes de indicar que [matemáticas] (u ^ 2 + 1) (v ^ 2 + 1) [/ matemáticas ] debe ser compuesto.

Entonces, para que [math] u ^ 2 + 1 [/ math] sea [math] 1 [/ math] debemos tener [math] u = 0 [/ math]. Si [math] 0 [/ math] no se considera un número natural, hemos terminado: [math] u ^ 2 + 1 [/ math] no puede ser [math] 1 [/ math], y de hecho tanto [math] u ^ 2 + 1 [/ math] como [math] v ^ 2 + 1 [/ math] son ​​entonces números naturales mayores que [math] 1 [/ math], por lo que su producto es compuesto.

De lo contrario, supongamos que [math] u = 0 [/ math] es de hecho una de las raíces de la ecuación original. Al conectar [matemática] x = 0 [/ matemática] en [matemática] x ^ 2 + ax + (1-b) = 0 [/ matemática] concluimos que [matemática] b = 1 [/ matemática], entonces nuestra ecuación es en realidad

[matemáticas] x ^ 2 + hacha = 0 [/ matemáticas].

Las raíces de esta ecuación son [matemáticas] u = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] v = -a [/ matemáticas], por lo que [matemáticas] a [/ matemáticas] puede ser un entero negativo arbitrario (o [matemáticas] 0 [/ math]) y [math] a ^ 2 + b ^ 2 = a ^ 2 + 1 [/ math] podrían ser [math] 1, 2, 5, 10, 17 [/ math] y así sucesivamente. Muchos de estos números definitivamente no son números compuestos. De hecho, se cree que infinitos de ellos son primos (pero no lo sabemos con certeza).

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Presumiblemente, si le dieron este problema en un examen o en un conjunto de problemas de tarea o en un libro, entonces el contexto puede aclarar que [matemáticas] 0 [/ matemáticas] no debe considerarse entre los números naturales. Pero de cualquier manera, una vez que presente [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] como el producto [matemáticas] (u ^ 2 + 1) (v ^ 2 + 1) [/ matemáticas], no debe solo afirme que este es un número compuesto. Debe explicar por qué esta presentación es una descomposición genuina de un número natural en factores no triviales.

Answer 2

Gran pregunta

Deje que las raíces de la ecuación cuadrática sean [matemáticas] u, v. [/ Matemáticas]

Ahora, escribiendo la ecuación en forma estándar:

[matemáticas] x ^ 2 + hacha + (1-b) = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Usamos las fórmulas de Vieta para obtener:

1. [matemáticas] u + v = -a \ implica a = – (u + v) [/ matemáticas]
2. [matemáticas] uv = 1-b \ implica b = 1-uv [/ matemáticas]

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Entonces, [math] \ require {cancel} [/ math]

[matemáticas] \ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = [- (u + v)] ^ 2+ (1-uv) ^ 2 \\ & = u ^ 2 + v ^ 2 + 2uv + 1-2uv + u ^ 2v ^ 2 \\ & = u ^ 2 + v ^ 2 + \ cancel {2uv} + 1- \ cancel {2uv} + u ^ 2v ^ 2 \\ & = u ^ 2v ^ 2 + u ^ 2 + v ^ 2 + 1 \\ & = u ^ 2 (v ^ 2 + 1) + (v ^ 2 + 1) \\ & = \ boxed {(u ^ 2 + 1) (v ^ 2 + 1)} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Ahora, como [math] u [/ math] y [math] v [/ math] son ​​números naturales, [math] u ^ 2 + 1 [/ math] y [math] v ^ 2 + 1 [/ math] son también números naturales (estrictamente mayores que 1 porque [matemática] u, v \ neq 0 [/ matemática]).

Por lo tanto, [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] tiene factores [matemáticas] 2 [/ matemáticas] (aparte de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] y de sí mismo).

Por lo tanto, es compuesto .

Answer 3

nombremos r1 y r2 esas dos raíces.

entonces podemos factorizar la expresión:

(x-r1) * (x-r2) = x ^ 2 + ax + 1-b

entonces x ^ 2- (r1 + r2) x + r1 * r2 = x ^ 2 + ax + 1-b

por lo tanto, r1 + r2 = -a

y r1 * r2 = 1-b

cuadratura, a ^ 2 = (r1 + r2) ^ 2 y b ^ 2 = (r1 * r2–1) ^ 2

entonces a ^ 2 + b ^ 2 = r1 ^ 2 + r2 ^ 2 + 2 * r1 * r2 + 1 + r1 ^ 2 * r2 ^ 2–2 * r1 * r2

a ^ 2 + b ^ 2 = r1 ^ 2 + r2 ^ 2 + r1 ^ 2 * r2 ^ 2 + 1

= r1 ^ 2 (1 + r2 ^ 2) + 1 + r2 ^ 2

= (1 + r2 ^ 2) (1 + r1 ^ 2)

es un producto de dos números naturales, entonces es un número compuesto

Answer 4

Digamos que las dos raíces [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] son ​​ambas naturales.

Ahora, la suma y el producto de estas raíces se pueden escribir como

[matemáticas] \ displaystyle x_1 + x_2 = -a, [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle x_1x_2 = 1-b, [/ matemáticas]

respectivamente. Por lo tanto,

[matemáticas] \ begin {align *} a ^ 2 + b ^ 2 & = (x_1 + x_2) ^ 2 + (1-x_1x_2) ^ 2 \\ & = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + 1 + x_1 ^ 2x_2 ^ 2 \\ & = (1 + x_1 ^ 2) (1 + x_2 ^ 2) \ end {align *} [/ math]

Como [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] se suponía que eran números naturales, y hemos demostrado que [math] a ^ 2 + b ^ 2 [/ math] es igual al producto de dos números naturales mayores que uno, por lo tanto, debe ser compuesto.

Answer 5

La ecuación se puede reescribir como [matemáticas] x ^ 2 + ax-b + 1 = 0 [/ matemáticas]. Suponga que 2 raíces de la ecuación son [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] (estos son números naturales), siguiendo las fórmulas de Vieta tenemos [matemáticas] x_1 + x_2 = -a [/ matemáticas] y [matemáticas] x_1 * x_2 = -b + 1 [/ matemáticas]. Como resultado [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x_1 + x_2) ^ 2 + (x_1 * x_2–1) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + 2x_1 x_2 + x_1 ^ 2 x_2 ^ 2–2 x_1 x_2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_1 ^ 2 x_2 ^ 2 + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] = (x_1 ^ 2 + 1) (x_2 ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

que es un número compuesto

Answer 6

Este tipo de problemas generalmente se resuelven mediante las fórmulas de Vieta.

Tenemos

[matemáticas] x ^ 2 + hacha + (1-b) = 0 [/ matemáticas]

por lo tanto

[matemáticas] a = – (x_1 + x_2) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1-b = x_1x_2 [/ matemáticas]

y entonces

[matemáticas] a ^ 2 = (x_1 + x_2) ^ 2 = x_1 ^ 2 + 2x_1x_2 + x_2 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] b ^ 2 = (1-x_1x_2) ^ 2 = 1–2x_1x_2 + x_1 ^ 2x_2 ^ 2 [/ matemáticas]

Finalmente, agregando estos y cancelando el término común:

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + 1 + x_1 ^ 2x_2 ^ 2 = (1 + x_1 ^ 2) (1 + x_2 ^ 2) [/ matemáticas]

Entonces es compuesto. Lindo problema

Answer 7

Llame a las raíces [matemáticas] m [/ matemáticas] y [matemáticas] n. [/ Matemáticas] Sabemos que son números naturales.

[matemáticas] 0 = (xm) (xn) = x ^ 2- (m + n) x + mn [/ matemáticas]

[matemáticas] 0 = x ^ 2 + hacha + (1-b) [/ matemáticas]

[matemáticas] a = – (m + n) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1-b = mn [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + (1-b) ^ 2 = a ^ 2 + 1 + b ^ 2 – 2b = a ^ 2 + b ^ 2 -1 + 2 (1-b) [/ matemáticas]

[matemáticas] (m + n) ^ 2 + m ^ 2n ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 1 + 2mn [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = m ^ 2n ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 + 1 = (m ^ 2 + 1) (n ^ 2 + 1) [/ matemáticas]

Como [math] m [/ math] y [math] n [/ math] son ​​naturales, [math] m ^ 2 + 1 [/ math] y [math] n ^ 2 +1 [/ math] son ​​números naturales mayor que uno, entonces [matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas] debe ser compuesto, como hemos demostrado dos factores (posiblemente idénticos).

Answer 8

* A2A

Dado que

[matemáticas] x ^ 2 + hacha + 1 = b [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x ^ 2 + ax + (1-b) = 0 [/ matemáticas]

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Suponga que [math] \ alpha, \ beta [/ math] son ​​raíces de la ecuación dada. Usando la fórmula de Vieta:

[matemáticas] \ alpha + \ beta = -a \\ \ implica a = – (\ alpha + \ beta) \ tag {1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ alpha \ beta = 1-b \\ \ implica b = 1- \ alpha \ beta \ tag {2} [/ matemáticas]

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[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} a ^ 2 + b ^ 2 & = \ {- (\ alpha + \ beta) \} ^ 2+ (1- \ alpha \ beta) ^ 2 \\ & = \ alfa ^ 2 + 2 \ alpha \ beta + \ beta ^ 2 + 1-2 \ alpha \ beta + \ alpha ^ 2 \ beta ^ 2 \\ & = \ alpha ^ 2 + \ alpha ^ 2 \ beta ^ 2 + \ beta ^ 2 + 1 \\ & = \ alpha ^ 2 (1+ \ beta ^ 2) + (\ beta ^ 2 + 1) \\ & = (\ beta ^ 2 + 1) (\ alpha ^ 2 + 1) \ end {split} \ end {ecuación} [/ math]

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[matemáticas] \ alfa, \ beta \ in \ N [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] \ alpha ^ 2 + 1 \ ge 2, [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta ^ 2 + 1 \ ge 2 [/ matemáticas]

Pudimos expresar [matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) [/ matemáticas] como producto de dos factores. Por lo tanto, es compuesto.

Answer 9

[matemática] x ^ 2 + ax + 1 = b \ implica x = \ pm \ sqrt {b-1 + \ frac {a ^ 2} {4}} – \ frac {a} {2} [/ matemática]

por lo tanto:

[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {4} -a ^ 2 \ cdot b + a ^ 2 + b ^ 2 = a ^ 2 \ cdot (\ frac {1} {4 } -b + 1) + b ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora no quiere probar que [matemáticas] a ^ 2 \ cdot (\ frac {1} {4} -b + 1) + b ^ 2 [/ matemáticas] es compuesto para [matemáticas] a, b \ in \ mathbb N [/ math]

tal vez las indicaciones funcionan:

Base: [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]

instantáneamente podemos decir que [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas] es compuesto

así que supongamos que

[matemáticas] a ^ 2 \ cdot (\ frac {1} {4} -b + 1) + b ^ 2 [/ matemáticas] es compuesto para un

ahora dejemos poner [math] a + 1 [/ math] en lugar de a y tenemos:

[matemáticas] (a ^ 2 + 2a + 1) \ cdot (\ frac {1} {4} -b + 1) + b ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a ^ 2 \ cdot (\ frac {1} {4} -b + 1) + b ^ 2 + 2a \ cdot (\ frac {1} {4} -b + 1) + \ frac {1} {4} -b + 1 = \ text {algún número compuesto c} + 2a \ cdot (\ frac {1} {4} -b + 1) + \ frac {1} {4} -b + 1 = c- 2ab + \ frac {5} {2} \ cdot a + b- \ frac {5} {4} [/ math]

ok no esto no funciona

Lo siento, no puedo ayudar, pero no quería que este cálculo se desperdiciara. Quizás puedas trabajar con eso.