¿Cuál es la ecuación de un círculo cuyo centro es el punto de intersección de las líneas [matemáticas] 2x-3y + 4 = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3x + 4y-5 = 0 [/ matemáticas] y pasa a través de ¿origen?

Answer 1

Bien. Comenzamos por encontrar el punto de intersección entre las dos líneas. Esto es lo mismo que resolver un sistema de ecuaciones para estas líneas, entonces tenemos

[matemáticas] \ begin {array} {rcl} 2x-3y + 4 & = & 0 \\ 3x + 4y-5 & = & 0 \ end {array} [/ math]

Reorganicemos las ecuaciones de las líneas para obtenerlo en forma estándar.

[matemática] \ begin {array} {rcl} 2x-3y & = & -4 \\ 3x + 4y & = & 5 \ end {array} [/ math]

Luego, podemos resolver la primera ecuación para [math] y [/ math] para usar la sustitución para resolver el sistema.

[matemáticas] 2x-3y = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -3y = -2x-4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {2} {3} x + \ frac {4} {3} [/ matemáticas]

Sustituyendo esto por [math] y [/ math] en la segunda ecuación para encontrar el valor de [math] x [/ math], obtenemos

[matemática] 3x + 4 (\ frac {2} {3} x + \ frac {4} {3}) = 5 [/ matemática]

[matemáticas] \ implica 3x + \ frac {8} {3} x + \ frac {16} {3} = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {17} {3} x + \ frac {16} {3} = 5 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica \ frac {17} {3} x = – \ frac {1} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = – \ frac {1} {17} [/ matemáticas]

Finalmente, podemos conectar este valor en cualquiera de las ecuaciones para encontrar el valor y. Usemos la primera ecuación nuevamente.

[matemáticas] 2 (- \ frac {1} {17} -3y = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica – \ frac {2} {17} -3y = -4 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica -3y = – \ frac {66} {17} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica y = \ frac {22} {17} [/ matemáticas]

Por lo tanto, el punto [matemáticas] (- \ frac {1} {17}, \ frac {22} {17}) [/ matemáticas] es el punto medio de nuestro círculo. Para encontrar el radio de nuestro círculo, necesitamos encontrar la distancia desde el centro hasta el origen, [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas]. Podemos usar la fórmula de la distancia ([math] \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2} [/ math]) para esto.

[matemáticas] r = \ sqrt {(- \ frac {1} {17} -0) ^ 2 + (\ frac {22} {17} -0) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemática] \ implica r = \ sqrt {\ frac {1} {289} + \ frac {484} {289}} [/ matemática]

[matemáticas] \ implica r = \ sqrt {\ frac {485} {289}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica r = \ frac {\ sqrt {485}} {17} [/ matemáticas]

Finalmente, conectamos el centro, [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas] y el radio, [matemáticas] r [/ matemáticas], en la ecuación para un círculo, [matemáticas] (xh) ^ 2 + ( yk) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas].

[matemáticas] (x + \ frac {1} {17}) ^ 2+ (y- \ frac {22} {17}) ^ 2 = (\ frac {\ sqrt {485}} {17}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (x + \ frac {1} {17}) ^ 2+ (y- \ frac {22} {17}) ^ 2 = \ frac {485} {289} [/ matemáticas]

Answer 2

El punto de intersección es la solución de 2x — 3y = —4 y 3x + 4y = 5.

Que como solución x = —1/17, y = —22/17

El radio al cuadrado del circuito es d ^ 2 = ((0 + 1/17) ^ 2 + (0 + 22/17) ^ 2) = 1/289 + 484/289.

Entonces la ecuación de askque es

(x + 1/17) ^ 2 + (y + 22/17) ^ 2 = 485/289.

Answer 3

Primero, encontraremos el centro resolviendo sistemas de ecuaciones:

[matemáticas] 2x – 3y + 4 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x = 3y – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {3} {2} y – 2 [/ matemáticas]

Sustituyendo, obtenemos:

[matemáticas] 3 (\ frac {3} {2} y – 2) + 4y – 5 = 0 [/ matemáticas]

[matemática] \ frac {9} {2} y – 6 + 4y – 5 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] \ frac {17} {2} y – 11 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {17} {2} y = 11 [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 11 \ cdot \ frac {2} {17} [/ matemáticas]

[matemáticas] y = \ frac {22} {17} [/ matemáticas]

Sustituyendo por x,

[matemáticas] 2x = 3 (\ frac {22} {17}) – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2x = \ frac {66} {17} – 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = \ frac {33} {17} – 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = – \ frac {1} {17} [/ matemáticas]

Ahora tenemos el centro [matemáticas] (- \ frac {1} {17}, \ frac {22} {17}) [/ matemáticas].

A continuación, sabemos que el origen está en el círculo. Por lo tanto, el radio es igual a la distancia entre el centro y el origen. Ahora tenemos:

[matemáticas] r = \ sqrt {(- \ frac {1} {17} + 0) ^ 2 + (\ frac {22} {17} + 0) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {1} {289} + \ frac {484} {289}} [/ matemáticas]

[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {485} {289}} [/ matemáticas]

[matemáticas] r ^ 2 = \ frac {485} {289} [/ matemáticas]

Usando nuestra forma estándar, [matemáticas] (x – h) ^ 2 + (y – k) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas], donde [matemáticas] (h, k) [/ matemáticas] es el centro y [ math] r [/ math] es el radio. Al conectar nuestros números, ahora tenemos nuestra ecuación:

[matemáticas] (x + \ frac {1} {17}) ^ 2 + (y – \ frac {22} {17}) ^ 2 = \ frac {485} {289} [/ matemáticas]

Espero que esto ayude, Luke

Answer 4

Sea [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 + 2gx + 2fy + c = 0 [/ matemática] ……… (1) sea la ecuación requerida.

Como pasa por (0,0)

obtenemos c = o

Un dolor de cabeza se ha ido ya que reduce el determinante que vamos a usar de [matemáticas] 4 \ veces 4 [/ matemáticas] a [matemáticas] 3 \ veces 3. [/ Matemáticas]

El centro (-g, -f) debe estar en ambas líneas.

4-2g + 3f = 0 ……. (2)

-5–3g-4f = 0 …… (3)

(1) (2) y (3) contienen gyf y debe haber consistencia en sus valores.

Esto requiere

[matemáticas] \ begin {vmatrix} x ^ 2 + y ^ 2 & 2x & 2y \\ 4 & -2 & +3 \\ -5 & -3 & -4 \ end {vmatrix} = 0 [/ math]

Expandiendo el determinante que obtenemos

[math] \ boxed {17 (x ^ 2 + y ^ 2) + 2x-44y = 0} [/ math] es la ecuación del círculo.

Answer 5

6x-9y + 12 = 0

6 x + 8y-10 = 0

17y = 22

y = 22/17

2x-3 * 22/17 + 4 = 0

2x = 66 / 17–4 = -2 / 17

x = -1 / 17

1 / 17² + 22² / 17² = r² = 485 / 17²

(x + 1/17) ² + (y-22/17) ² = 485/289 es la ecuación del círculo