Como otros han señalado, [matemática] x = 0 [/ matemática] es la única solución integral a la ecuación. Hay soluciones complejas . Primero, escriba [matemáticas] 1 – i [/ matemáticas] en forma polar
[matemáticas] 1 – i = \ sqrt {2} (\ cos (\ tfrac {\ pi} {4}) – i \ sin (\ tfrac {\ pi} {4})) = \ sqrt {2} e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4}} [/ math]
Al conectar esto a la ecuación y resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas] tenemos
[matemáticas] \ left (\ sqrt {2} e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4}} \ right) ^ x = 2 ^ x \ Rightarrow e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4} x } = 2 ^ {x / 2} [/ matemáticas]
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Reescribe el lado derecho tomando el logaritmo complejo y exponencial
[matemáticas] e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4}} = e ^ {\ tfrac {x} {2} \ log (2) + 2 \ pi ik}, \ k \ in \ mathbb {Z} .[/matemáticas]
Igualando los exponentes que obtenemos
[matemáticas] i \ tfrac {\ pi} {4} x = \ tfrac {x} {2} \ log (2) + 2 \ pi ik, [/ matemáticas]
lo que implica
[matemáticas] x = \ frac {2 \ pi ik} {i \ tfrac {\ pi} {4} – \ tfrac {1} {2} \ log (2)} = \ frac {8 \ pi ik} {i \ pi- 2 \ log (2)} [/ math]
Cuando [math] k = 0 [/ math] esto, por supuesto, se reduce a [math] x = 0, [/ math] pero también da un número infinito de soluciones:
[matemáticas] \ ldots, \ frac {-8 \ pi i} {i \ pi- 2 \ log (2)}, \ 0, \ \ frac {8 \ pi i} {i \ pi- 2 \ log (2 )}, \ \ frac {16 \ pi i} {i \ pi- 2 \ log (2)} \ ldots [/ math]