Cómo encontrar las soluciones integrales para la ecuación [matemáticas] (1- i) ^ x = 2 ^ x [/ matemáticas]

Como otros han señalado, [matemática] x = 0 [/ matemática] es la única solución integral a la ecuación. Hay soluciones complejas . Primero, escriba [matemáticas] 1 – i [/ matemáticas] en forma polar

[matemáticas] 1 – i = \ sqrt {2} (\ cos (\ tfrac {\ pi} {4}) – i \ sin (\ tfrac {\ pi} {4})) = \ sqrt {2} e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4}} [/ math]

Al conectar esto a la ecuación y resolver para [matemáticas] x [/ matemáticas] tenemos

[matemáticas] \ left (\ sqrt {2} e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4}} \ right) ^ x = 2 ^ x \ Rightarrow e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4} x } = 2 ^ {x / 2} [/ matemáticas]

Reescribe el lado derecho tomando el logaritmo complejo y exponencial

[matemáticas] e ^ {i \ tfrac {\ pi} {4}} = e ^ {\ tfrac {x} {2} \ log (2) + 2 \ pi ik}, \ k \ in \ mathbb {Z} .[/matemáticas]

Igualando los exponentes que obtenemos

[matemáticas] i \ tfrac {\ pi} {4} x = \ tfrac {x} {2} \ log (2) + 2 \ pi ik, [/ matemáticas]

lo que implica

[matemáticas] x = \ frac {2 \ pi ik} {i \ tfrac {\ pi} {4} – \ tfrac {1} {2} \ log (2)} = \ frac {8 \ pi ik} {i \ pi- 2 \ log (2)} [/ math]

Cuando [math] k = 0 [/ math] esto, por supuesto, se reduce a [math] x = 0, [/ math] pero también da un número infinito de soluciones:

[matemáticas] \ ldots, \ frac {-8 \ pi i} {i \ pi- 2 \ log (2)}, \ 0, \ \ frac {8 \ pi i} {i \ pi- 2 \ log (2 )}, \ \ frac {16 \ pi i} {i \ pi- 2 \ log (2)} \ ldots [/ math]

Si

[matemáticas] (1-i) ^ x = 2 ^ x [/ matemáticas]

Luego, usando el formulario de Euler

[matemáticas] 1-i = \ dfrac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {- i \ frac {\ pi} {4}} [/ matemáticas]

Entonces,

[matemáticas] (1-i) ^ x = \ left (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {- i \ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ x [/ math]

[matemáticas] \ left (\ dfrac {1} {\ sqrt {2}} e ^ {- i \ frac {\ pi} {4}} \ right) ^ x = 2 ^ x [/ math]

[matemáticas] 2 ^ {\ frac {-x} {2}} \ cdot e ^ {- ix \ frac {\ pi} {4}} = 2 ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- ix \ frac {\ pi} {4}} = 2 ^ {\ frac {3x} {2}} [/ matemáticas]

Al tomar logaritmo

[matemáticas] \ ln {e ^ {- ix \ frac {\ pi} {4}}} = \ ln {2 ^ {\ frac {3x} {2}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] -ix \ dfrac {\ pi} {4} = \ dfrac {3x} {2} \ ln2 [/ matemáticas]

[matemática] x \ left (\ dfrac {3} {2} \ ln2 + i \ dfrac {\ pi} {4} \ right) = 0 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto x = 0 [/ matemáticas]

Cualquier cosa elevada al poder de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] es [matemáticas] 1 [/ matemáticas], por lo que la primera solución obvia es [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas], y el resto se puede encontrar en lo siguiente camino :-

[matemáticas] \ displaystyle (1-i) ^ x = 2 ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x \ ln (1-i) = x \ ln (2) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x (\ ln (1-i) – \ ln (2)) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x \ ln \ left (\ frac {1-i} {2} \ right) = 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica e ^ {x \ ln \ left (\ frac {1-i} {2} \ right)} = e ^ {0} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica e ^ {x \ ln \ left (\ frac {1-i} {2} \ right)} = e ^ {0 + n2 \ pi i} \ space for \ space n \ in \ Z [/ math] [para ver por qué se permite este paso, consulte el logaritmo complejo – Wikipedia]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x \ ln \ left (\ frac {1-i} {2} \ right) \ ln (e) = (0 + n2 \ pi i) (\ ln (e)) \ space para \ space n \ in \ Z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x \ ln \ left (\ frac {1-i} {2} \ right) = n2 \ pi i \ space for \ space n \ in \ Z [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica x = \ frac {n2 \ pi i} {\ ln \ left (\ frac {1-i} {2} \ right)} \ space for \ space n \ in \ Z [/ math ]

así que supongo que solo hay una solución integral [matemática] 1 [/ matemática] que es [matemática] x = 0 [/ matemática].

Deje y = 1-i

y ^ 2 = 1 + i ^ 2 -2i

y ^ 2 = -2i

y ^ 4 = 4 i ^ 2

y ^ 4 = -4

y ^ 8 = 16 = 2 ^ 4

(1-i) ^ 8 = 2 ^ 4

Por lo tanto, no tiene una solución integral

Sin embargo, (1-i) ^ 2x = 2 ^ x tienen infinitas soluciones integrales (comenzando con x = 8)