Las ecuaciones de campo de Einstein se ven más bien como una ecuación matemática. Pero esta ecuación tiene una buena interpretación geométrica si vemos el espacio-tiempo desde la perspectiva del marco de descanso de un observador que se mueve con cuatro velocidades [matemáticas] u ^ a [/ matemáticas].
Podemos considerar la proyección local del tensor de curvatura en la dirección ortogonal de la línea del mundo del observador usando el tensor de proyección
[matemáticas] h ^ {ab} = g ^ {ab} + u ^ au ^ b [/ matemáticas]
Si consideramos solo el marco de descanso instantáneo del observador, entonces la curvatura que obtenemos es la curvatura escalar 3 del espacio proyectado ortogonalmente, es decir, mide la curvatura escalar local del tensor de curvatura proyectado espacialmente.
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Por lo tanto, la proyección se define por
[matemáticas] \ widetilde {R} _ {ijkl} = h ^ {a} _ih ^ {b} _jh ^ {c} _kh ^ {d} _l R_ {abcd} [/ matemáticas]
Así, obtenemos el escalar
[matemáticas] \ tilde {R} = h ^ {ac} h ^ {bd} R_ {abcd} = 2u ^ au ^ cG_ {ac} = 2 \ kappa \ rho [/ math]
En el último paso, utilicé la relación que [math] \ rho = T_ {ac} u ^ au ^ c [/ math] para un observador en su marco de descanso.
Aquí, había usado las ecuaciones de Einstein. Puede obtener este resultado después de dos o tres pasos de álgebra tensorial a partir del primer paso.
La moraleja obtenida aquí es que, la curvatura ortogonal de 3 para un observador que se mueve a lo largo de una línea de wold es una medida directa de la densidad de energía local en ese punto . Esto explica muy bien el significado geométrico de las ecuaciones de campo.
Tenga en cuenta que la curvatura [matemática] \ tilde {R} [/ matemática] que mencioné aquí no es la curvatura escalar 3 del espacio ortogonal, sino la curvatura escalar 3 del espacio proyectado ortogonalmente.