Las raíces de [matemáticas] a (xb) (xc) + b (xc) (xa) + c (xa) (xb) = 0 [/ matemáticas] son ​​siempre? ([matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​reales y distintas)

Answer 1

Creo que expandir los productos en los términos y calcular el discriminante es una exageración en este problema. Una de las respuestas hace algo similar a lo que habría hecho sobre este problema. Intentaré agregar un poco más de rigor a eso.

Debido a que [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​distintos, podemos suponer sin pérdida de generalidad que [matemática] a> b> c [/ matemática ] Dejar

[matemáticas] f (x) = a (x – b) (x – c) + b (x – c) (x – a) + c (x – a) (x – b) [/ matemáticas]

Entonces, está claro que [math] f (a) [/ math] tiene el mismo signo que [math] a [/ math], [math] f (b) [/ math] está opuestamente firmado de [math] b [/ math] y [math] f (c) [/ math] nuevamente tienen el mismo signo que [math] c [/ math]. Si [math] a [/ math] y [math] c [/ math] tienen el mismo signo, entonces está claro que habrá dos raíces reales, una entre [math] a [/ math] y [math] b [/ math] y el otro entre [math] b [/ math] y [math] c [/ math]. Si están firmados de manera opuesta, entonces una vez más habrá dos raíces reales y una de ellas estará entre [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] o [matemáticas] b [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas].

Por lo tanto, todo lo que podemos concluir aquí es que serán reales en todo momento.

Answer 2

La respuesta de Lakshit Satija está casi completa. Como lo muestra él, el discriminante del polinomio dado está dado por

[matemáticas] \ Delta = 2 \ big ((ab-bc) ^ 2 + (bc-ca) ^ 2 + (ca-ab) ^ 2 \ big) [/ math].

Como [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] son ​​números reales, [matemáticas] \ Delta \ ge 0 [/ matemáticas], de modo que las raíces de dado polinomio son reales .

Ahora [math] \ Delta = 0 [/ math] if and only [math] ab-bc = bc-ca = ca-ab = 0 [/ math]. Del primero de ellos obtenemos [math] b = 0 [/ math], ya que [math] a \ ne c [/ math]. Del mismo modo, los otros dos dan [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas], respectivamente. Pero entonces [matemáticas] a = b = c [/ matemáticas], lo que contradice la suposición. (Solo deduciendo [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas] es suficiente para esta contradicción).

Por lo tanto, [math] \ Delta> 0 [/ math], de modo que las raíces son reales y desiguales .

¿Qué más se puede decir? Las raíces de una ecuación cuadrática [matemáticas] Ax ^ 2–2Bx + C = 0 [/ matemáticas] son

[matemáticas] \ dfrac {B \ pm \ sqrt {B ^ 2 – AC}} {A} [/ matemáticas]. [matemáticas] … (\ estrella) [/ matemáticas]

Para este problema, de la solución de Lakshit , vemos que

[matemática] A = a + b + c [/ matemática], [matemática] B = ab + bc + ca [/ matemática] y [matemática] C = 3abc [/ matemática].

Podemos suponer [matemáticas] B ^ 2-AC> 0 [/ matemáticas] en este caso. Suponga que [matemática] A> 0 [/ matemática] sin pérdida de generalidad.

Si [math] AC> 0 [/ math], entonces [math] B \ ne 0 [/ math] y de hecho, [math] | B |> \ sqrt {B ^ 2-AC} [/ math]. Entonces, ambas raíces son positivas si [matemáticas] B> 0 [/ matemáticas], y ambas raíces son negativas si [matemáticas] B <0 [/ matemáticas]. En otras palabras, las dos raíces tienen el mismo signo que [math] B [/ math].

Si [math] AC = 0 [/ math], entonces las raíces son [math] 0 [/ math] y [math] 2B / A [/ math].

Si [matemática] AC <0 [/ matemática], entonces [matemática] C <0 positiva mientras que la otra es negativa .

Para concluir, solo podemos inferir que las dos raíces son reales y desiguales . [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 3

[matemáticas] \ displaystyle a (xb) (xc) + b (xc) (xa) + c (xa) (xb) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff a (xb) (xc) = b (xc) (xa) = c (xa) (xb) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff a = b = c = 0 \ text {o} xa = xb = xc = 0 [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle \ iff a = b = c = 0 \ text {o} a = b = c = x [/ math]

y [matemáticas] \ porque a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] son ​​reales y distintas [matemáticas] \ por lo tanto x [/ matemáticas] (o la raíz) también Real y distinto. Siéntase libre de editar mi respuesta para corregir cualquier error y aclarar sus dudas.

Answer 4

Las raíces son reales

[matemáticas] a (xb) (xc) + b (xc) (xa) + c (xa) (xb) = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica a [x ^ 2- (b + c) x + bc] + b [x ^ 2- (c + a) x + ca] + c [x ^ 2- (a + b) x + ab] = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica (a + b + c) x ^ 2-2 (ab + bc + ca) x + 3abc = 0 [/ matemáticas]

---

[matemáticas] D = 4 (ab + bc + ca) ^ 2-4 (a + b + c) (3abc) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + c ^ 2a ^ 2 + 2a ^ 2bc + 2ab ^ 2c + 2abc ^ 2-3a ^ 2bc-3ab ^ 2c-3abc ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 4 (a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + c ^ 2a ^ 2-a ^ 2bc-ab ^ 2c-abc ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 (2a ^ 2b ^ 2 + 2b ^ 2c ^ 2 + 2c ^ 2a ^ 2-2a ^ 2bc-2ab ^ 2c-2abc ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [(ab-bc) ^ 2 + (bc-ca) ^ 2 + (ca-ab) ^ 2] [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica D \ ge 0 \ para todos a, b, c \ in \ R [/ matemáticas]

Si [matemáticas] x = a = b = c [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] D = 0 [/ matemáticas]

Answer 5

Answer 6

Tomé dos conjuntos de valores para [math] ([/ math] [math] a, b, c) [/ math], uno es [math] (1,0,0) [/ math], en el que obtuve [matemáticas] x = 0 [/ matemáticas] y otras [matemáticas] (1,1,0) [/ matemáticas] en las que obtuve [matemáticas] x = 0, 1 [/ matemáticas]. Entonces, combinando estos dos casos, puedo decir que [math] x [/ math] es real.

Answer 7

Real y desigual