En ese caso, C no estaría indefinido, sería complejo. Tome el caso relativamente elemental
[matemáticas] x ^ 3 – x = 0 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] a = 1, b = 0, c = -1, d = 0 [/ matemáticas]
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El discriminante se convierte
[matemáticas] \ Delta = 4 [/ matemáticas]
Entonces tenemos eso
[matemáticas] \ Delta_0 = 3 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ Delta_1 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] C = \ sqrt [3] {3i \ sqrt {3}} = e ^ {i \ pi / 6} \ sqrt {3} [/ matemáticas]
donde elegí el signo más sin ninguna razón en particular, y escribí [matemáticas] i = e ^ {i \ pi / 2} [/ matemáticas]. Supongo que la identidad [matemáticas] e ^ {ix} = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas] es familiar; de lo contrario, esto se complica.
La primera raíz es por lo tanto
[matemáticas] x_1 = – \ frac {1} {3a} \ izquierda (b + C + \ frac {\ Delta_0} {C} \ derecha) [/ matemáticas]
[matemáticas] = – \ frac {1} {3} \ left (\ sqrt {3} \ cdot e ^ {i \ pi / 6} + \ sqrt {3} \ cdot e ^ {- i \ pi / 6} \ right) [/ math]
[matemática] = – \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ left (2 \ cos (\ pi / 6) \ right) = -1 [/ math]
El factor [math] \ xi = – \ frac {1} {2} + i \ frac {\ sqrt {3}} {2} = e ^ {2i \ pi / 3} [/ math]. Por lo tanto, la siguiente raíz es
[matemáticas] x_2 = – \ frac {1} {3a} \ left (b + \ xi C + \ frac {\ Delta_0} {\ xi C} \ right) [/ math]
[matemáticas] = – \ frac {1} {3} \ left (\ sqrt {3} \ cdot e ^ {2i \ pi / 3} e ^ {i \ pi / 6} + \ sqrt {3} e ^ { -2i \ pi / 3} e ^ {- i \ pi / 6} \ right) [/ math]
[matemática] = – \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ left (2 \ cos (5 \ pi / 6) \ right) = 1 [/ math]
Y, por último, la tercera raíz es
[matemáticas] x_3 = – \ frac {1} {3a} \ left (b + \ xi ^ 2 C + \ frac {\ Delta_0} {\ xi ^ 2 C} \ right) [/ math]
[matemáticas] = – \ frac {1} {3} \ left (\ sqrt {3} \ cdot e ^ {4i \ pi / 3} e ^ {i \ pi / 6} + \ sqrt {3} e ^ { -4i \ pi / 3} e ^ {- i \ pi / 6} \ right) [/ math]
[matemáticas] = – \ frac {1} {\ sqrt {3}} \ left (2 \ cos (3 \ pi / 2) \ right) = 0 [/ math]
Entonces, las tres raíces de la ecuación son -1, 0 y 1, que por supuesto habríamos sabido de inmediato al factorizar:
[matemáticas] x ^ 3 – x = x (x ^ 2–1) = x (x + 1) (x-1) [/ matemáticas]
Uf. Entonces, esto se vuelve desordenado y necesita saber cómo manipular números complejos mientras duerme, incluso si todas las raíces son reales.