El uso más estándar de las transformadas de Laplace, por construcción, está destinado a ayudar a obtener una solución analítica, posiblemente expresada como una integral, dependiendo de si uno puede invertir la transformación en forma cerrada, de un sistema lineal.
De esta manera, la linealidad se usa fundamentalmente en métodos para resolver analíticamente un DE utilizando una transformación de Laplace. (Observe cómo se deriva el enfoque. Se utiliza la linealidad en la derivación). Si observa la derivación, también verá que los coeficientes no necesitan ser constantes. También hay algunos requisitos técnicos (por ejemplo, para asegurarse de que la integral de transformación de Laplace converge).
Si desea estudiar un método de transformación que funcione en ecuaciones diferenciales no lineales (parciales) especiales (llamadas “integrables”), puede interesarle las transformaciones de dispersión inversa.
Aunque esto se aparta del contexto que tenía en mente, un comentarista (Siddhartha Ganguly), vea los comentarios a continuación, junto con su respuesta a la pregunta, también indica el uso de transformadas de Laplace para ayudar con el examen de DE no lineales, por lo que puede estar interesado en los punteros que menciona. De su respuesta completa, parece aplicarse después de linealizar las ecuaciones y como parte de un procedimiento numérico.
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Nota: Actualicé mi respuesta con el comentario de Siddhartha Ganguly a continuación en mente. No he mirado esos recursos y me estoy refiriendo a ellos al pasar por interés. El comentario fue útil para mejorar mi respuesta y hacerlo mucho más preciso (por ejemplo, ser más explícito sobre conectarlo directamente con lo que el interrogador tenía en mente sin exagerar demasiado sobre lo que escribí).