¿Por qué una ecuación cuadrática tiene dos soluciones? ¿Por qué lo resolvemos equiparando cada factor de la expresión cuadrática correspondiente a cero?

Answer 1

Estás mezclando términos.

Una ecuación es algo que tiene un signo igual. Es una afirmación de que dos cosas son iguales. Es una oración , por así decirlo. No tiene sentido decir que estableces una ecuación igual a cero.

Lo que estás preguntando son polinomios cuadráticos, es decir, cosas que se parecen a [matemáticas] aX ^ 2 + bX + c [/ matemáticas], donde [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​constantes y [matemáticas] X [/ math] es una variable. Esto se puede interpretar como una función. En cualquier caso, es un objeto (o sustantivo) en lugar de una aserción (u oración).

Lo que le interesa es en realidad la siguiente pregunta: “¿Cómo puedo determinar para qué valores de [matemáticas] X [/ matemáticas] el polinomio cuadrático [matemáticas] aX ^ 2 + bX + c [/ matemáticas] devuelve cero?”

Hay varias formas equivalentes de formular esta pregunta:

• “¿Para qué [matemáticas] X [/ matemáticas] es [matemáticas] aX ^ 2 + bX + c = 0 [/ matemáticas]?”
• “¿Cuáles son las raíces del polinomio [matemáticas] aX ^ 2 + bX + c [/ matemáticas]?” (Si bien la redacción es diferente, el significado es el mismo: una raíz de un polinomio solo significa los valores para los cuales el polinomio devuelve cero)

Si solo estamos interesados ​​en las raíces reales de [matemáticas] aX ^ 2 + bX + c [/ matemáticas] (y suponemos que [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​reales), también podríamos plantear esta pregunta Me gusta esto:

• “¿Para qué [matemática] X [/ matemática] la gráfica de [matemática] Y = aX ^ 2 + bX + c [/ matemática] cruza el eje [matemática] X [/ matemática]?” (Esto es solo un interpretación geométrica de las preguntas equivalentes anteriores: la gráfica es solo la colección de todos los puntos [matemática] (X, Y) [/ matemática] de modo que [matemática] Y = aX ^ 2 + bX + c [/ matemática]. usamos algún tipo de curva. Entonces podemos preguntar cuándo esta curva cruza el eje [matemática] x [/ matemática], pero eso es solo decir que [matemática] Y = 0 [/ matemática].)

Ahora, podemos atacar esta pregunta de varias maneras para determinar cuántas soluciones debería haber. Para simplificar, consideremos primero todas las raíces complejas, en lugar de solo las reales.

Tenemos [matemáticas] aX ^ 2 + bX + c = 0 [/ matemáticas]. Para hacer nuestras vidas un poco más simples, dividamos ambos lados entre [matemáticas] a [/ matemáticas], de modo que tengamos [matemáticas] X ^ 2 + \ frac {b} {a} X + \ frac {c} { a} [/ matemáticas]. Estas constantes se ven un poco feas, así que llamemos a [math] b ‘= \ frac {b} {a} [/ math] y [math] c’ = \ frac {c} {a} [/ math], para que podemos escribir nuestra ecuación como [matemáticas] X ^ 2 + b’X + c ‘= 0 [/ matemáticas].

A priori, esto todavía parece difícil, así que demos un paso atrás y consideremos algunos ejemplos más simples donde definitivamente podemos resolver el problema, y ​​veamos si podemos usar ese impulso para resolver el problema en el caso general.

Primero, suponga que [math] b ‘= 0 [/ math], entonces solo tenemos [math] X ^ 2 + c’ = 0 [/ math]. Entonces, el camino a seguir es sencillo: debemos obtener el término [math] X [/ math] en un lado, el [math] c ‘[/ math] en el otro y sacar una raíz cuadrada. Es decir:

[matemáticas] \ displaystyle {\ begin {align *} \ qquad X ^ 2 + c ‘& = 0, \\ X ^ 2 & = -c’, \\ X & = \ pm \ sqrt {-c ‘}. \ end {align *}} [/ math]

Suficientemente fácil. Sin embargo, ¿qué pasa si [math] b \ neq 0 [/ math]? Bueno, hay al menos un caso en el que resolver este problema no debería ser demasiado difícil, si [matemática] X ^ 2 + b’X + c ‘[/ matemática] es un cuadrado. Es decir, supongamos que [math] c ‘= b’ ^ 2/4 [/ math], entonces

[matemáticas] \ displaystyle {\ begin {align *} \ qquad X ^ 2 + b’X + c ‘& = X ^ 2 + b’X + b’ ^ 2/4 = 0, \\ \ left (X + b ‘/ 2 \ right) ^ 2 & = 0, \\ X + b’ / 2 & = 0, \\ X & = -b ‘/ 2. \ end {align *}} [/ math]

Bueno. Ahora estamos listos para abordar el caso general. La idea es la siguiente: mover un factor constante en el lado izquierdo al lado derecho (tal como lo hicimos en el primer ejemplo) para que el nuevo lado izquierdo se factorice como un cuadrado (como lo hizo en el segundo ejemplo) . Así es como funciona:

[matemáticas] \ displaystyle {\ begin {align *} \ qquad X ^ 2 + b’X + c ‘& = 0, \\ X ^ 2 + b’X & = -c’, \\ X ^ 2 + b ‘X + b’ ^ 2/4 & = b ‘^ 2/4 – c’, \\ \ left (X + b ‘/ 2 \ right) ^ 2 & = \ frac {b’ ^ 2 – 4c ‘} {4}, \\ X + b ‘/ 2 & = \ pm \ frac {\ sqrt {b’ ^ 2 – 4c ‘}} {2}, \\ X & = \ frac {-b’ \ pm \ sqrt {b ‘^ 2 – 4c’}} {2}. \ end {align *}} [/ math]

Recordando que [math] b ‘= b / a [/ math] y [math] c’ = c / a [/ math], podemos volver a enchufarlo para ver

[matemáticas] \ displaystyle {\ begin {align *} \ qquad X & = \ frac {b / a \ pm \ sqrt {- \ left (b / a \ right) ^ 2 -4 c / a}} {2} , \\ X & = \ frac {- \ frac {b} {a} \ pm \ frac {1} {a} \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2}, \\ X & = \ frac { -b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a}, \ end {align *}} [/ math]

que podría reconocer como nada más que la fórmula cuadrática. Lo que puede ver claramente es que, en general, hay dos soluciones, con las siguientes advertencias (aquí supongo que [matemáticas] a, b, c [/ matemáticas] son ​​todos números reales):

1. Si [math] b ^ 2 – 4ac = 0 [/ math], entonces las dos soluciones coinciden (existe lo que se llama una raíz doble ), y solo obtenemos [math] X = – \ frac {b} {2a} [/matemáticas].
2. Si [math] b ^ 2 – 4ac <0 [/ math], entonces las dos soluciones no son reales: se encuentran alejadas del eje real en el plano complejo.
3. Si [math] b ^ 2 – 4ac> 0 [/ math], entonces las dos soluciones son reales y distintas.

Answer 2

Cualquier ecuación que contenga un término cuadrado desconocido tendrá dos soluciones y, de manera similar, una ecuación cúbica o una ecuación cuártica tendrá 3 y 4 soluciones, respectivamente. Algunas soluciones pueden repetirse y otras pueden ser soluciones complejas, que contienen i, (raíz cuadrada de -1)

A menos que sea una ecuación, no puede resolverla por el valor desconocido. Puede tener una función de x, (f (x) |), digamos y puede tener una gráfica de la misma y la gráfica se denotará por y = f (x). Es decir, traza su f (x) contra y en su sistema de coordenadas. Para un rango de valores x, calcula el valor y para construir el gráfico.

El problema con la enseñanza de ecuaciones cuadráticas es el hecho de que el estudiante no sabe cómo surgió. Por lo general, son modelos matemáticos de una situación real y la situación dicta qué es igual a qué. En las ecuaciones cuadráticas, se acostumbra poner todo al lado izquierdo, cambiar su signo y luego es igual a cero.

La distancia de frenado para un automóvil o cualquier vehículo se puede modelar mediante una ecuación cuadrática. La distancia de frenado se compone de la distancia recorrida durante el tiempo de reacción. Luego, una vez que se aplican los frenos, la distancia recorrida durante el período de desaceleración. En el modelo general

ax ^ 2 + bx + c = 0

El componente bx se relaciona con la distancia de pensamiento, que es lineal. El componente ax ^ 2 no es lineal, porque si la velocidad se duplica de v a 2v, la distancia de frenado se cuadruplica.

Si va al sitio web http://passmytheory.co.uk/learni … distancia, verá varias distancias de pensamiento y frenado que le dan distancias de frenado generales. El modelado de estas cifras de sitios proporciona la siguiente cuadrática, que generará distancias de frenado totales para cualquier velocidad normal de un automóvil:

x ^ 2/20 + x – c = 0

donde x es la velocidad del automóvil en mph yc es la distancia de frenado general. Como puede ver, la distancia de frenado (c) estaba en el lado derecho, pero se colocó en el LHS, solo por conveniencia.

Supongamos que conocemos la distancia de frenado como 75 pies (= c), encontramos la velocidad (x mph) a la que viajaba el vehículo. Por lo tanto, el modelo es

x ^ 2/20 + x – 75 = 0

Haga el cálculo> x ^ 2 + 20x -1500 = 0 usando la fórmula e ignore el resultado negativo. Esto produce que x = 30 (mph)

Alternativamente, puede tener la velocidad del automóvil (digamos que es 20 mph, entonces x = 20) y requerir la distancia de frenado (= c) y entonces la fórmula se convierte en:

x ^ 2/20 + x = c => 20 ^ 2/20 + 20 = 40 (pies)

En resumen, por lo tanto, la ecuación cuadrática se ve obligada a tener cero en el RHS y la situación que modela le da la ecuación (es decir, con un signo “=”). En palabras, el modelo es: un automóvil que viaja a x mph viajará bx pies durante el tiempo de reacción del conductor cuando se le dé una razón para frenar y durante el frenado viajará hacha ^ 2 pies dando una distancia de frenado total de c pies.

Answer 3

Cualquier número positivo tiene una raíz cuadrada positiva y negativa, por lo que es razonable esperar dos respuestas a cualquier ecuación que tenga un término [matemático] x ^ 2 [/ matemático] al resolver para [matemático] x [/ matemático].

No es necesario que una función sea igual a cero para resolverla, pero generalmente es más fácil de resolver si lo es. En cualquier caso, es simple reorganizar una ecuación para que sea igual a cero.

Si [matemática] f (x) = g (x) [/ matemática] entonces [matemática] f (x) -g (x) = 0 [/ matemática].

Answer 4

Cualquier expresión cuadrática monomial (coeficiente principal 1) se puede transformar en una de las dos formas siguientes:

[1] [matemáticas] \ displaystyle (xu) ^ 2 -v ^ 2 = (x – (u -v)) (x- (uv)) [/ math]

[2] [matemáticas] \ displaystyle (xu) ^ 2 + v ^ 2 [/ matemáticas]

En el caso [1] habrá 2 soluciones reales que son [math] uv [/ math] y [math] u + v [/ math]

En el caso [2] no habrá soluciones reales.

Si consideramos la expresión cuadrática general, podemos crear una con el coeficiente principal 1 de la siguiente manera:

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = a (x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a}) [/ matemáticas]

Expandiendo [1] y comparando coeficientes de [matemática] x [/ matemática] obtenemos inmediatamente la fórmula cuadrática estándar.

Answer 5

Dos factores se multiplican para hacer cero si alguno de ellos es cero. Dos factores no se multiplican para hacer cero si ninguno de ellos es cero. Si los factores son distintos, como suele ser el caso, entonces hay dos posibles soluciones que corresponden a los dos factores.

Answer 6

Es porque, cruzando las raíces de la ecuación,
‘x = {-b raíz {±} de {b ^ {2} -4ac}} sobre {2a}.’ En esta fórmula, hay ‘±’, por lo que puede tener dos respuestas o, si ‘raíz {±} de {b ^ {2} -4ac}’ es cero, puede tener una respuesta.

gracias.