¿Qué significa [math] \ mathbf C_n ^ \ left [\ frac {n} 2 \ right] \ equiv \ dfrac {n!} {\ Left (n- \ left [\ frac {n} {2} \ right] \ derecha)! \ izquierda [\ frac {n} 2 \ derecha]!} [/ matemáticas] ¿significa?

Answer 1

La C se refiere a combinaciones en combinatoria (la teoría de determinar el recuento de cosas). Las combinaciones involucran dos valores enteros, ny m , con 0 ≤ m ≤ n . Lo que estás indicando que debes buscar es que si tienes un conjunto de n objetos, ¿cómo puedes elegir diferentes subconjuntos con m objetos? (Recuerde, mezclar el orden de los elementos de un conjunto no crea un conjunto diferente.) Se utilizan muchas anotaciones diferentes sobre dónde colocar el nym en relación con la C: algunas personas los colocan a ambos como subíndices separados por comas a la derecha de la C; algunas personas ponen uno como subíndice a la izquierda de la C y otro como subíndice a la derecha; algunas personas (como en la pregunta) colocan uno como subíndice y otro como superíndice a la derecha de la C; Algunas personas lo escriben en notación de función, C ( n , m ).

Aquí el valor de n es n y el valor de m es [ n / 2], que tradicionalmente en matemáticas se ha escrito más comúnmente como [ n / 2 ] (corchetes en negrita) o ⟦n / 2⟧, lo que significa la función entera más grande . Esto ahora se anota de manera más común y útil como la función de piso ⌊ n / 2⌋, el mayor entero menor o igual que n / 2. Si n es par, entonces n / 2 ya es un número entero y, por lo tanto, el resultado; si n es impar, entonces n / 2 no es un entero y el siguiente entero hacia abajo es ( n – 1) / 2. Por lo tanto, n – [ n / 2] también es n / 2 para n par y es ( n + 1) / 2 = ⌈ n / 2⌉ para n impar. Por lo tanto, el denominador de la fracción en la pregunta es el producto de los factoriales de n / 2 redondeado a un número entero y n / 2 redondeado a un número entero.

Lo que esto significa es que la expresión nos dice cuántos subconjuntos diferentes hay que son la mitad del tamaño del conjunto en cuestión, y redondeando la media cuenta si el conjunto inicial tiene un número impar de elementos. Resulta que cuando el conjunto inicial tiene un número impar de elementos, se obtiene el mismo número de subconjuntos si la media cuenta se redondea hacia arriba en lugar de redondear hacia abajo, aunque los subconjuntos reales son diferentes.

Si uno se expande ( x + y ) ⁿ mediante el teorema binomial, esta fórmula proporciona el coeficiente más grande en la expansión.

Si n es par, podemos reemplazar n por 2 n y [ n / 2] por n (que es una acción perfectamente válida), y la fórmula en la pregunta dividida por n + 1 da lo que se conoce como el enésimo n catalán número, Cn (donde el n debería estar subíndice pero no funciona para mí en este momento), lo cual es útil para varios problemas combinatorios.

Answer 2

Hay algunas rarezas notacionales aquí.

Los corchetes obviamente están destinados a indicar la función de piso. Que yo sepa, los corchetes no son una forma aceptada de escribir eso. La forma estándar es [math] \ lfloor \ frac {n} {2} \ rfloor [/ math]. Observe que no hay una línea horizontal en la parte superior de la llave.

La función floor devuelve el entero más grande menor o igual que su argumento, por lo que devuelve [math] \ frac {n} {2} [/ math] para números pares, y [math] \ frac {n-1} {2 } [/ math] para números impares. La función de techo, cuyas llaves no tienen una línea horizontal en la parte inferior, devuelve el entero más pequeño mayor o igual que su argumento.

La notación C es estándar para un coeficiente binomial, pero normalmente el número mayor, el grado de expansión binomial, va en la parte superior. Es muy inusual ver “n” en la parte inferior.

——- EDITAR ——-

Otro póster señaló que los corchetes se pueden usar para indicar la función del piso. Los corchetes son una convención debido a Gauss en el siglo XIX. La notación que describo fue introducida por Ken Iverson a principios de los años 60, y se utilizó ampliamente desde entonces. Donald Knuth le tiene mucho cariño. Es lo que me enseñaron, aunque he visto (y olvidado) la notación de Gauss.

Answer 3

Esta parece ser la fórmula de combinación, donde (escrito en forma alternativa) nCr es la combinación de n elementos tomados r a la vez y es igual a n! / [(Nr)! R!]. Lo que significa es que si tengo una colección de n cosas, ¿de cuántas maneras diferentes puedo seleccionar r de ellas donde el orden de selección no importa (es decir, no cuento las selecciones que producen el mismo conjunto de elementos r pero en un diferente orden de selección como una selección diferente)

En este caso, parece que está calculando la combinación de n elementos tomados n / 2 a la vez. Por ejemplo, si tengo (n =) 4 elementos, ¿de cuántas maneras diferentes puedo seleccionar 2 de ellos? ¡La respuesta sería 4! / (4–2)! 2! = 24/2 * 2 = 24/4 = 6. Esto tiene sentido:

Artículos: a, b, c, d

Opciones: ab, ac, ad, bc, bd, cd (seis de ellas)

EDITAR: traté los corchetes como solo corchetes, y no lo interpreté como la función de piso. Modifique mis comentarios en consecuencia si se refería a la función de piso.

Answer 4

Mueva los detalles a los detalles de la pregunta o comentarios de la pregunta, en lugar de en una respuesta.

En cuanto a una respuesta: es la cantidad de formas de seleccionar [matemática] \ frac {n} {2} [/ matemática] elementos de [matemática] n [/ matemática] elementos si [matemática] n [/ matemática] es par, o la cantidad de formas de seleccionar [matemática] \ frac {n-1} {2} [/ matemática] elementos de [matemática] n [/ matemática] si [matemática] n [/ matemática] es impar. Tenga en cuenta que aquí nos referimos a la selección de conjuntos de elementos, por lo que el orden no importa.

Answer 5

Es decir, ¿de cuántas maneras puedes dividir n cosas en dos pilas, de la misma manera posible?

Answer 6

Es lo mismo que n elige el piso de la mitad de n.

n elegir r es la cantidad de formas en que puede elegir r cosas diferentes de n cosas diferentes.

También se escribe como [math] \ binom {n} {r} [/ math].

La función de piso proporciona el mayor entero menor que el parámetro que le proporciona.

Generalmente se escribe como [math] \ left \ lfloor x \ right \ rfloor [/ math]

El valor de su función será el mismo que

[matemáticas] \ displaystyle \ binom {n} {\ left \ lfloor n / 2 \ right \ rfloor} [/ math]

lo que significa que en caso de números pares es

[matemáticas] \ displaystyle \ binom {n} {n / 2} [/ matemáticas]

y por extraño

[matemáticas] \ displaystyle \ binom {n} {(n-1) / 2} [/ matemáticas]

Answer 7

Puede considerar que [] es una función llamada función de soporte.

p.ej

[1.2] = 1

[-2,3] = -3

Como puede ver, la función puede obtener un número entrante que es menor que el entrado.

Entonces, si n = 7, [n / 2] = 3.

Answer 8

Answer 9

Significa que hay nby 2 formas de selección entre n cosas.