¿Cuál es la ecuación de una línea perpendicular a 3x + 4y = 16 y pasa por el punto (-2, 7)?

Método 1.

Pendiente de la línea dada = – coeficiente de x / coeficiente de y- = -3/4 [puede encontrar el

pendiente de la línea usando la fórmula y = mx + c]

Pendiente de la línea perpendicular = 4/3 [escriba el recíproco de -3/4 con el signo opp]

Toma esta pendiente como m.

Esta línea pasa por (-2, 7) [tome este punto como (x 1, y 1)

La ecuación de la línea es (y – y 1) = m (x – x 1)

y – 7 = 4/3 {x – (- 2)}

y – 7 = 4/3 (x +2) [multiplicar ambos lados por 3]

3 (y – 7) = 4 (x +2)

3 y -21 = 4 x + 8

es decir, 4 x + 8 = 3 y -21

4 x – 3 y +8 + 21 = 0

4 x – 3 y + 29 = 0

Método 2 [sin encontrar la pendiente]

Cualquier ecuación que sea perpendicular a 3 x + 4 y = 16 tiene la forma

4 x – 3 y = k [intercambia el coeficiente de x e y. Pon el signo opuesto para y’s

coeficiente, es decir, en lugar de + y put -y, k es algo constante]

Esta línea pasa por (-2,7)

4 (-2) -3 (7) = k

-8 -21 = k Por lo tanto, k = -29

Pon el valor de k en la ecuación 4 x -3 y = k

4 x – 3 y = -29 (o)

4 x – 3 y + 29 = 0

Primero, escribamos la ecuación de tu línea de forma canónica, es decir

[matemáticas] 4y = 16 – 3x [/ matemáticas]

[matemáticas] y = 4 – \ frac {3} {4} x [/ matemáticas]

Entonces tenemos

[matemáticas] \ frac {dy} {dx} = – \ frac {3} {4} [/ matemáticas]

Si [math] \ theta [/ math] es el ángulo formado por esta línea y el eje x, tenemos

[matemáticas] \ tan \ theta = – \ frac {3} {4} [/ matemáticas]

Y sabemos que

[matemáticas] \ tan (\ theta + \ frac {\ pi} {2}) = \ frac {\ sin (\ theta + \ frac {\ pi} {2})} {\ cos (\ theta + \ frac { \ pi} {2})} = \ frac {\ sin (\ theta) \ cos (\ frac {\ pi} {2}) + \ sin (\ frac {\ pi} {2}) \ cos (\ theta )} {\ cos (\ theta) \ cos (\ frac {\ pi} {2}) – \ sin (\ theta) \ sin (\ frac {pi} {2})} = \ frac {\ cos (\ theta)} {- \ sin (\ theta)} = \ frac {4} {3} [/ math]

Entonces sabemos que la ecuación de la línea perpendicular tiene la forma

[matemáticas] y = \ frac {4} {3} x + a [/ matemáticas]

O, para ponerlo en una presentación similar a su pregunta inicial

[matemáticas] 3y – 4x = 3a [/ matemáticas]

Sabemos, en particular, que es cierto para [matemáticas] (- 2,7) [/ matemáticas], por lo que podemos escribir

[matemáticas] 3 \ veces 7 – 4 \ veces (-2) = 3a [/ matemáticas]

[matemáticas] 29 = 3a [/ matemáticas]

Su ecuación es [matemática] 3y [/ matemática] [matemática] -4x = 29 [/ matemática]

Pendiente de la línea dada = – coeficiente de x / coeficiente de y- = -3/4 [puede encontrar el

pendiente de la línea usando la fórmula y = mx + c]

Pendiente de la línea perpendicular = 4/3 [escriba el recíproco de -3/4 con el signo opp]

Toma esta pendiente como m.

Esta línea pasa por (-2, 7) [tome este punto como (x 1, y 1)

La ecuación de la línea es (y – y 1) = m (x – x 1)

y – 7 = 4/3 {x – (- 2)}

y – 7 = 4/3 (x +2) [multiplicar ambos lados por 3]

3 (y – 7) = 4 (x +2)

3 y -21 = 4 x + 8

es decir, 4 x + 8 = 3 y -21

4 x – 3 y +8 + 21 = 0

4 x – 3 y + 29 = 0

La ecuación se puede volver a expresar como

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {x} {\ frac {16} {3}} + \ frac {y} {4} = 1 [/ matemáticas]

Esto significa que la intersección x es

[matemáticas] a = \ frac {16} {3} [/ matemáticas]

mientras que la intersección en y es

[matemáticas] b = 4 [/ matemáticas]

Esto significa que la pendiente de la línea es

[matemáticas] m_1 = – \ frac {b} {a} [/ matemáticas]

mientras que la pendiente de una línea perpendicular a ella es

[matemáticas] \ displaystyle m_2 = \ frac {-1} {m_1} = \ frac {a} {b} = \ frac {\ frac {16} {3}} {4} = \ frac {4} {3} [/matemáticas]

Como pasa por el punto [matemática] (- 2,7) [/ matemática]

[matemática] y -7 = \ frac {4} {3} (x + 2) [/ matemática]

Álgebra adicional puede simplificar esto,

La multiplicación del sloop en líneas perpendiculares es: m * mp = -1 donde sy sp son el sloop de líneas perpendiculares. La ecuación de una línea es y = mx + b donde, m es la pendiente y b es la intersección de las líneas con el eje y (cuando x = 0).

Podemos poner la ecuación es esa forma, porque está en otra forma (ax + by = d). Haciendo eso

3x-3x + 4y = 16–3x ——-> 4y = 16–3x —-> 4y / 4 = 16 / 4–3 / 4x— → y = 4–3 / 4x—- y = -3 / 4x + 4 4

donde m = -3 / 4 Ahora m * mp fo para encontrar mp (pendiente de la línea perpendicular) – → -3 / 4 * mp = -1— → -3 / 4 * -4 / 3mp = -1 * -4 / 3— → mp = 4/3

Ahora podemos usar la ecuación de sloop, point, porque tenemos la sloop y un punto (-2,7). La ecuación del punto de sloop es y-y0 = m (x-x0) donde m es el sloop y (x0, yo) son las coordenadas de un punto.

Usando la ecuación y-7 = 4/3 (x – (- 2)) —-> y-7 = 4 / 3x + 8 / 3— → y-7 + 7 = 4 / 3x + 8/3 + 7— -> y = 4 / 3x + 8/3 + 21/3 —-> y = 4 / 3x + 29/3

La ecuación modelo de una línea es
y = mx + c
Donde m = gradiente y c = intersección en y
Comparando con la ecuación en cuestión
4y = 16 – 3x (reorganizado)
m = -3/4 (ya que y tiene un coeficiente)
Para dos líneas hay dos gradientes.
Por lo tanto, m1 y m2
Deje m1 = -3/4
Cuando dos líneas son perpendiculares entre sí,
m1 = -1 / m2
Por lo tanto,
m2 = -1 / -3 / 4. (cambio de tema)
m2 = 4/3
Para la ecuación de la recta,
Usamos la plantilla,
y -y1 = m (x-x1)
… donde (x1, y1) es un punto en la línea perpendicular
Entonces tenemos
y-7 = 4/3 (x – (-2))
3y -21 = 4x + 8
3y – 4x = 29
Por lo tanto, la ecuación es
3y – 4x – 29 = 0

3x + 4y = 16

4y = -3x + 16

y = mx + c (ecuación de línea recta) donde c es la intersección xym es gradiente (pendiente)

y = -0.75x + c

El gradiente de las líneas perpendiculares cuando se multiplica es -1.

-0.75 *? = -1

? = 4/3

El signo de interrogación representa el gradiente de línea perpendicular a 3x + 4y = 16

Sustituir (-2,7) en y = 4 / 3x + c

7 = -8/3 + c

c = 9 2/3

Por lo tanto, la ecuación de línea es y = 4/3 x + 9 2/3 que se puede expresar como 3y = 4x + 29 o

3y-4x-29 = 0

La ecuación perpendicular para 3 * x + 4 * y = 16 es 4 * x-3 * y = k

El valor de k se puede definir sustituyendo el punto dado en la ecuación perpendicular

4 (-2) -3 (7) = k

k = -29

Entonces la ecuación perpendicular total de 3 * x + 4 * y = 16 es 4 * x-3 * y + 29 = 0

3x + 4y = 16

4y = -3x + 16

Y = -3/4 X + 4 (la pendiente de la línea dada es -3/4)

La línea pasa por (-2, 7)

La ecuación de la línea en cuestión es ..

(Y-7) ÷ (x + 2) = 4/3

Y = 4/3 (x + 2) +7

pendiente de dar línea-3/4

pendiente de la línea a través de (-2,7) = 4/3

ecuación: (y-7) / (x + 2) = 4/3

4 (x + 2) = 3 (y-7)

3y-4x = 29

Ecuación de línea = -3 / 4

Entonces ecuación de línea perpendicular = 4/3

Entonces la ecuación se puede hacer como

y-7 = 4/3 (x + 2)

3y-21 = 4x + 8

4x-3y + 29 = 0 es la ecuación necesaria

4x- 3y + 29 = 0