Edición 1: Edición después de que Luke Hammer señaló que puede haber tres soluciones cuando estas dos curvas se resuelven juntas. El siguiente gráfico lo representa bien:
Aquí, la curva azul es [matemática] y = x ^ 2 [/ matemática] y la curva roja es [matemática] y = 2 ^ x [/ matemática].
Para tal caso, podemos entender que puede haber dos puntos de tangencia entre estas dos curvas. El primero estará cerca de 0 cuando la curva azul se desplace hacia arriba (n> 0). El segundo será en algún lugar entre 2 y 4 o cerca de 3, cuando la curva azul se desplace hacia abajo (n <0).
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Como entendemos, las pendientes serán iguales en ese punto y así tenemos,
[matemáticas] ln (2) * 2 ^ x – 2x = 0 [/ matemáticas] ———— (1)
Según mi conocimiento, no hay forma directa de resolver esta ecuación. Pero he encontrado un truco siempre útil para soluciones aproximadas.
Veamos qué obtenemos cuando expandimos [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas]:
[matemáticas] ln (2) * [1 + x * ln (2) + \ frac {(x * ln (2)) ^ 2} {2} + \ frac {(x * ln (2)) ^ 3} {6} +…] – 2x = 0 [/ matemáticas]
Para valores de x cercanos a cero, podemos ignorar fácilmente una mayor potencia de x, específicamente [matemática] x ^ 3 [/ matemática] en adelante. Sin embargo, esto no será cierto si | x | tiene mayor valor Nuestra solución se encuentra cerca de cero, que se puede encontrar de esta manera. Entonces, tendremos,
[matemáticas] ln (2) * [1 + x * ln (2) + \ frac {(x * ln (2)) ^ 2} {2}] – 2x = 0 [/ matemáticas]
Esta es una ecuación cuadrática, y resolver esto da, x = 0.48 o 8.64
Obviamente, 0.48 es el valor que nos interesa.
Nuestro próximo valor se encuentra cerca de 3 y para eso esta aproximación no funciona directamente y con razón da un resultado incorrecto. Pero hay otro truco para superarlo. Tengamos [math] x = 3 + t [/ math] en la ecuación 1. En tal caso, t estará cerca de 0. Y tendremos:
[matemáticas] ln (2) * 2 ^ {t + 3} – 2 (t + 3) = 0 [/ matemáticas]
o, [matemáticas] 4 * ln (2) * 2 ^ t – t – 3 = 0 [/ matemáticas]
Nuevamente expandiendo [matemática] 2 ^ t [/ matemática] e ignorando una mayor potencia de t, obtenemos una ecuación cuadrática como:
[matemáticas] 2 * (ln (2)) ^ 3 * t ^ 2 + (4 * (ln (2)) ^ 2 – 1) t + (4 * ln (2) – 3) = 0 [/ matemáticas]
Resolviendo esto obtenemos, t = 0.214 o 1.598
Nuevamente, estamos interesados en el primer valor 0.214, dándonos x = 3.214
Podemos verificar estos dos valores de x ( 0.48 y 3.214 ) en la ecuación (1). Obtenemos LHS como 0.0067 y 0.0039, que están muy cerca de 0.
Ahora en estos puntos, se encuentran dos curvas originales. Entonces,
[matemáticas] x ^ 2 – 2 ^ x + n = 0 [/ matemáticas]
o [matemáticas] n = 2 ^ x – x ^ 2 [/ matemáticas]
o,
n = 1.164 o -1.051
La respuesta a continuación es incorrecta, ya que supuse que las curvas anteriores se cruzan solo en 2 puntos máximos.
Por geometría, podemos entender que después de resolver estas dos curvas podemos dar 0 o 1 o 2 soluciones reales basadas en el valor de n.
Además, dado que las dos curvas se encuentran en el punto tangente, deben resolverse para dar una solución única.
Por lo tanto, [matemáticas] x ^ 2 – 2 ^ x + n = 0 [/ matemáticas] debería tener una solución única ……… .. (1)
Ahora en el punto tangente, las pendientes de la tangente de las curvas originales también serán las mismas. La pendiente de la tangente para la primera curva es ln (2) * 2 ^ x. Para la segunda curva es 2x.
Entonces, [matemáticas] ln (2) * 2 ^ x = 2x [/ matemáticas]
=> [matemáticas] 2 ^ x = \ frac {2x} {ln (2)} [/ matemáticas] en el punto de la tangente.
Poniendo esto en (1) da,
[matemáticas] x ^ 2 – \ frac {2x} {ln (2)} + n = 0 [/ matemáticas] que tiene una solución única.
Entonces, el discriminante de esta ecuación será cero:
[matemáticas] \ frac {4} {[ln (2)] ^ 2} = 4n [/ matemáticas]
=> [matemáticas] n = \ frac {1} {[ln (2)] ^ 2} [/ matemáticas]