¿Cómo resolver esta ecuación de exponente ’16 = 1.035 ^ t ‘sin usar una calculadora o un registro? ¿Existe algún método de acceso directo para exámenes competitivos con límites de tiempo?

Answer 1

La pregunta dice que se le permite el uso de un bolígrafo y papel, y no se le permite (provisto) una calculadora o tablas de registro. Lo que no dice (y no puede preguntar) es prohibirle hacer uso de algunos valores clave de registro almacenados en su memoria . Le recomendaría que conozca algunos valores clave de registro, por ejemplo, [matemáticas] \ log 2 \ aproximadamente 0.301 [/ matemáticas], [matemáticas] \ log 3 \ aproximadamente 0.477 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ log 7 \ aproximadamente 0.845 [/matemáticas]. Esto es suficiente para calcular (rápidamente) [matemática] \ log n [/ matemática] para [matemática] n \ in \ {5,6,8,9 \} [/ matemática]. Aquí todos [math] \ log [/ math] están en la base [math] 10 [/ math].

Como [math] 1.035 [/ math] está muy cerca de [math] 1 [/ math], en su lugar recomendaré usar el teorema binomial, tal como lo ha hecho Utkarsh Gupta en este momento:

[matemáticas] \ grande (1 + x \ grande) ^ n = \ displaystyle \ sum_ {k = 0} ^ n {n \ elegir k} x ^ k [/ matemáticas]. [matemáticas] … (\ estrella) [/ matemáticas]

Para [matemáticas] x \ aprox 0 [/ matemáticas], esto da

[matemática] \ grande (1 + x \ grande) ^ n \ aprox 1+ {n \ elegir 1} x = 1 + nx [/ matemática] [matemática]… (\ estrella \ estrella) [/ matemática]

porque los poderes superiores de [matemática] x [/ matemática], comenzando con [matemática] x ^ 2 [/ matemática], están aún más cerca de [matemática] 0 [/ matemática] que [matemática] x [/ matemática] era y incluso los poderes extra de [matemáticas] n [/ matemáticas] no son suficientes para compensar eso.

Para el problema dado, usamos eqn. [matemáticas] (\ estrella \ estrella) [/ matemáticas]:

[matemáticas] 16 = \ grande (1 + 0.035 \ grande) ^ n \ aprox 1 + 0.035n [/ matemáticas],

así que eso

[matemáticas] n = \ dfrac {15} {0.035} \ aprox \ dfrac {15} {0.03} = \ dfrac {1500} {3} = 500 [/ matemáticas].

Esto no coincide con ninguna de sus opciones, pero el método lo ayudará de todos modos. Te recomendaría que uses eqn. [math] (\ star \ star) [/ math] e intente cada una de las opciones, ya que este es un problema de tipo objetivo y no uno en el que necesita obtener una respuesta. El tiempo también es de consecuencia. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Utilice la expansión binomial: –

[matemáticas] (1 + x) ^ n = 1 + nx + \ dfrac {n (n-1) x ^ 2} {2!} + \ dfrac {n (n-1) (n-2) x ^ 3} {3!} [/ Matemáticas] ……

Pero aquí, x = 0.035, que es mucho más pequeño que 1, por lo que pueden ignorarse términos como [matemática] x ^ 2 [/ matemática], [matemática] x ^ 3 [/ matemática].

Entonces,

[matemáticas] (1 + x) ^ n = 1 + nx [/ matemáticas]

Poniendo x = 0.035

1 + 0.035n = 16

[matemáticas] 0.035n = 15 [/ matemáticas]

[matemáticas] n = \ frac {15} {0.035} [/ matemáticas]

Answer 3

No estoy seguro si esto funciona para ti. De todos modos funcionó para mí. Durante uno de mis exámenes universitarios, no tenía una calculadora científica. Inmediatamente recogí las tablas de registro, memoricé valores para 2, 3, 5 y 7. Afortunadamente, pude manejar con estos valores y algo de aritmética agotadora. Una cosa más es que solía tener muchos atajos para diferentes cálculos, algunos de matemáticas védicas, algunos basados ​​en la observación. (Alguna vez viste el patrón en cuadrados de 91, 991, 9991, etc.). Puedes intentar buscar en Google algunos trucos aritméticos / atajos.

Respuesta al problema: 16 = 1.035 ^ t

Log 16 = t log 1.035

4 log 2 = t log (23 * 9 * 5/1000)

t = 4 log 2 / (log 23 + 2log3 + log5 – 3)

Si usa valores de registro, puede obtener aproximadamente la respuesta más cercana en las opciones dadas.

Answer 4

Una buena regla para los inversores es la siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle (1+ \ epsilon) ^ {\ frac {0.72} \ epsilon} \ aprox 2 [/ matemáticas]

Esto se debe a que [math] \ ln (1 + x) \ aprox x [/ math] cuando [math] x [/ math] es pequeño, por lo que

[matemáticas] \ displaystyle \ ln 2 = \ ln 2 (\ frac 1x) (x) \ approx \ frac {0.70} x \ ln (1 + x) [/ math]

Exponiendo ambos lados te da el resultado anterior. Se elige 0.72 porque tiene más factores.

Si este es el caso, podemos ver de inmediato que

[matemáticas] 1.035 ^ {20} \ aproximadamente 2 [/ matemáticas]

Y entonces

[matemáticas] 1.035 ^ {80} \ aprox 16 [/ matemáticas]