¿Qué valor de n produce solo una posible solución para x en la ecuación [matemáticas] 2 ^ x = x ^ n? [/ Matemáticas]

Answer 1

Bueno, podemos ver que para n muy pequeña, x ^ n siempre será menor que 2 ^ x. Para n muy grande, x ^ n crecerá mucho más rápido que 2 ^ x al principio y se cruzará como un valor cercano a 1, pero eventualmente se pasará cuando 2 ^ x siga el crecimiento exponencial, lo que significa que habrá dos puntos de cruce, y así posibles soluciones para x en 2 ^ x = x ^ n.

Lo que necesitamos entonces es un punto donde x ^ n apenas roce 2 ^ x, con un solo punto de intercepción. Esto significa que ambos valores de cada función, junto con ambas derivadas, serán iguales. Así tenemos:

[matemáticas] 2 ^ x = x ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ ln {2} = n \ ln {x} [/ matemáticas]

[matemáticas] n = \ frac {x \ ln {2}} {\ ln {x}} [/ matemáticas]

Esta primera ecuación nos permite reemplazar n con x en la segunda ecuación basada en la derivada:

[matemáticas] d / dx (2 ^ x) = d / dx (x ^ n) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {2} * 2 ^ x = nx ^ {n-1} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {2} * 2 ^ x = \ frac {\ ln {2}} {\ ln {x}} x ^ n [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {x} * 2 ^ x = x ^ {\ frac {x \ ln {2}} {\ ln {x}}} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {\ ln {x}} + x \ ln {2} = x \ ln {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {\ ln {x}} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ ln {x} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e [/ matemáticas]

Así:

[matemáticas] n = \ frac {e \ ln {2}} {\ ln {e}} [/ matemáticas]

[matemáticas] n = e \ ln {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, para el valor anterior de n (aproximadamente 1.88), obtendremos una sola respuesta para la ecuación anterior.

De hecho, podemos visualizar esto en Wolfram Alpha con el siguiente enlace, que muestra la única intersección en x = e:

Motor de conocimiento computacional

También tenga en cuenta que estoy asumiendo x> 0. Para x <0, x ^ n se comporta mal para n no entero, y ocasionalmente puede conducir a soluciones adicionales que requieren trabajar con números complejos.

Answer 2

Resolver para n para obtener (x ln (2)) / ln (x) = n Si trazamos la curva y = (x ln (2)) / ln (x) queremos ver dónde una línea horizontal toca la curva exactamente una vez. Así que diferencia y y encuentra que la pendiente es cero cuando x = e . La segunda derivada es positiva, lo que demuestra que este es un mínimo. Y el valor de n es e ln (2).

Answer 3

① n = 0 → 2 ^ x = x ^ 0, x = 0

②Para n = ± entero impar, solo hay una solución posible

③para n = ± número entero par, hay dos soluciones

④ (i) d / dx (2 ^ x) = (2 ^ x) ㏑2

(ii) d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1)

⑤considere y = 2 ^ x e y = x

Cuando sus pendientes son iguales,

㏑22 ^ x = 1

2 ^ x = 1 / ㏑2 = k, k = 1 / ㏑2 = (㏑2) ^ – 1 = -㏑2

x = ㏑k, k <0 ㏑k no existe

⑥y = 2 ^ x, y = x²

㏑2 (2 ^ x) = 2x