¿Cada figura tiene una ecuación?

Answer 1

Depende de lo que quieras decir con una ecuación (y forma, supongo, pero no me voy a centrar en ese aspecto). Por ejemplo, aquí hay una solución muy engañosa: deje que [math] S [/ math] sea el conjunto de puntos en su forma. Definir una función

[matemáticas] f (x) = \ begin {cases} 1 & \ text {if} x \ en S \\ 0 & \ text {if} x \ notin S \ end {cases}. [/ math]

Entonces los puntos en la forma [matemática] S [/ matemática] son ​​todos [matemática] x [/ matemática] de tal manera que

[matemáticas] f (x) = 1 [/ matemáticas].

Esto funciona, esta es una definición perfectamente buena. Sin embargo, no dice nada interesante; básicamente solo dice que un punto está en [matemáticas] S [/ matemáticas] si es un punto en [matemáticas] S [/ matemáticas]. Bueno duh.

Entonces, claramente estamos buscando restringirnos a algún tipo particular de ecuación. Podría dar todo tipo de ejemplos diferentes de lo que podría ser. Podríamos pedir que nuestra ecuación involucre solo polinomios. Podríamos pedir que nuestra ecuación solo implique funciones con las que estamos familiarizados, como logaritmos o sinusoides. Incluso podríamos preguntar, de manera mucho más amplia, que nuestras funciones sean computables (es decir, una computadora podría evaluar cualquier entrada dada con precisión arbitraria).

Resulta que en todos estos casos, siempre hay algunas formas que simplemente no se pueden capturar.

Answer 2

Interpreto una forma como un subconjunto de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Entonces el conjunto de todos los gráficos posibles es el conjunto de potencia de [math] \ mathbb {R} ^ n. [/ math] Su cardinalidad es [math] 2 ^ \ left | \ mathbb {R} \ right | [/ math], que es incontablemente grande.

Una ecuación que podría escribir consta de caracteres finitos. Por lo tanto, el conjunto de todas las ecuaciones posibles es la unión contable del conjunto de ecuaciones con 1, 2, 3, … n caracteres, que es infinitamente contable.

Por lo tanto, habría algunas formas que no se pueden escribir como una ecuación.

Answer 3

Bueno, la mayoría de las formas geométricas se pueden expresar con ecuaciones (una o varias funciones por partes). Cada forma tiene una ecuación, pero no tenemos el conocimiento suficiente para describir cualquier forma geométrica no regular con ecuaciones.

Answer 4

No, hay formas geométricas que no tienen ecuaciones. La unión geométrica de puntos no es numerable, y las ecuaciones son numerables. No hay una biyección entre un lugar geométrico y una ecuación. De todos modos, cualquier ecuación que pueda visualizar en su mente tiene, por supuesto, una fórmula (no necesariamente una ecuación)