¿Qué debe entenderse por la dimensión de una ecuación?

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Por la dimensión de una ecuación nos referimos a las unidades que tiene (necesariamente en ambos lados).

Por ejemplo, la segunda ley de Newton tiene la dimensión de Newton (qué coincidencia) o la dimensión de la fuerza cuando queremos referirnos a la cantidad física en lugar de a las unidades mismas (porque podemos usar diferentes sistemas de unidades, pero la cantidad física siempre es inequívoco).

La famosa ‘energía igual a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado’ de Einstein tiene la dimensión de energía, o julios en unidades SI.

La ecuación para el factor de desplazamiento Doppler (que nos dice cuánto cambia una frecuencia en función de las velocidades de la fuente y el observador) es una ecuación adimensional, porque no tiene unidades, es solo un número.

La dimensión de una ecuación a menudo se pasa por alto; generalmente no escribimos las unidades de las cantidades explícitamente cuando usamos una ecuación. Pero esto no significa que no sea importante. Más bien lo contrario. Suponemos que quien ve la ecuación automáticamente se da cuenta de cuál es su dimensión. Una ecuación que tiene diferentes dimensiones en el lado izquierdo y derecho es automáticamente falsa, algo que a menudo se puede ver en las teorías chifladas.

Además, el análisis dimensional es una herramienta poderosa que puede ayudarlo no solo a verificar si no cometió ningún error al derivar una expresión, sino también a adivinar la expresión para una cantidad desconocida de sistemas físicos simples. Por ejemplo, puede deducir la ecuación para el período o la frecuencia de un oscilador armónico o un péndulo sin la necesidad de resolver ecuaciones diferenciales (hasta un posible factor de dos pi aquí o allá; el análisis dimensional no puede ayudarlo con las dimensiones factores). Incluso puede adivinar los niveles de energía cuantificados de una partícula cuántica en una caja, simplemente usando la incertidumbre y el análisis dimensional de Heisenberg, y nuevamente, hasta un factor constante, ¡obtendrá la expresión correcta!