La forma más natural de demostrar que las raíces del polinomio quíntico general no pueden escribirse en términos de radicales es a través de la teoría de Galois. Técnicamente, el teorema de Abel-Ruffini (que es lo que estás preguntando) se probó antes de que se desarrollara la teoría de Galois, por lo que ciertamente es posible probar sin la teoría de Galois … pero eso hace que la prueba sea innecesariamente complicada.
Con la teoría de Galois, la prueba es bastante simple. Primero, debe saber que las raíces de un polinomio [matemático] P (X) [/ matemático] se pueden expresar en términos de radicales si y solo si el grupo de Galois del campo de división de [matemático] P (X) [/ matemáticas] es solucionable. Después de eso, es suficiente encontrar cualquier polinomio tal que el grupo de Galois correspondiente no sea solucionable, y ya está.
Recuerde que un grupo [math] G [/ math] es solucionable si podemos encontrar subgrupos [math] G = G_0> G_1> G_2> G_3> \ ldots> G_n = \ {id \} [/ math] tal que [math ] G_ {i + 1} [/ math] es un subgrupo normal de [math] G_i [/ math] y el cociente [math] G_ {i} / G_ {i + 1} [/ math] es abeliano.
Según el teorema fundamental de la teoría de Galois, esto corresponde a una secuencia de extensiones algebraicas [math] \ mathbb {F} _0 \ supset \ mathbb {F} _1 \ supset \ mathbb {F} _2 \ ldots \ supset \ mathbb {F} _n = \ mathbb {Q} [/ math] (aquí [math] \ mathbb {F} _0 [/ math] es el campo de división de [math] P (X) [/ math]). El hecho de que los grupos de cocientes sean abelianos le indica que cada campo [math] \ mathbb {F} _i [/ math] se construye a partir de [math] \ mathbb {F} _ {i – 1} [/ math] al lanzar una raíz [math] n [/ math] -th de algún elemento en [math] \ mathbb {F} _ {i – 1} [/ math]. La existencia de tal secuencia de extensiones algebraicas es equivalente a pedir que las raíces de [matemáticas] P (X) [/ matemáticas] puedan escribirse tomando sucesivamente sumas, productos y radicales.
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Ahora, todo lo que queda es encontrar un polinomio [matemático] P (X) [/ matemático] tal que el grupo de Galois del campo de división no sea solucionable. El polinomio [matemático] P (X) = X ^ 5 – 4X – 1 [/ matemático] tiene el grupo de Galois [matemático] S_5 [/ matemático] (el grupo de permutación de 5 elementos; para una prueba de esto, puede mirar aquí ) [math] S_5 [/ math] no se puede resolver: puede probar esto utilizando maquinaria más sofisticada, o simplemente puede escribir cada subgrupo de [math] S_5 [/ math] y verificar que ninguna secuencia de ellos tenga las propiedades deseadas.