¿Cuál es la intuición detrás del sistema de ecuación lineal usando la operación de matrices?

Answer 1

Algebraicamente, la multiplicación de matrices se puede usar para resolver un sistema, multiplicando ambos lados de la ecuación por “matrices elementales” que hacen exactamente un cambio en el sistema. Si traduce de un lado a otro entre matrices y sistemas de ecuaciones, puede ver que cada matriz elemental multiplica ambos lados de una de las ecuaciones por una constante, o agrega una ecuación a otra, o ambos, todos los pasos válidos de álgebra. Entonces, aunque las ecuaciones se ven diferentes, tienen las mismas soluciones. Eventualmente lo llevas a Ix = c y lees las respuestas.

Geométricamente, cada ecuación representa un subconjunto n-1 dimensional de n espacio dimensional; por ejemplo, planos a través del origen en el espacio 3D, o líneas a través del origen en 2D. Cada forma es el conjunto de soluciones a la ecuación. Un conjunto de ecuaciones significa tener un conjunto de esos, y la solución al conjunto es la intersección de todos esos (planos, líneas, etc.) Por lo tanto, un sistema podría tener múltiples soluciones si tiene muchos planos que se encuentran a lo largo de uno línea, o una solución si tiene 3 planos que se cruzan en un punto, o no hay solución si los planos no se encuentran todos (ya sea por ser paralelos o simplemente por encontrarse en los lados de un triángulo, delimitando una forma de prisma triangular en el espacio. ) Las operaciones matriciales en este caso podrían verse como transformaciones de coordenadas: torcer, doblar, alargar ejes estándar hasta que se alineen con la solución.

Espero que esas fotos ayuden.

Answer 2

Las operaciones de fila que realiza son las mismas operaciones que realizaría en las ecuaciones en bruto para eliminar variables, simplemente reexpresadas en términos de las listas de coeficientes sin cargar los nombres de las letras para las variables.

Answer 3

Puedes ver esta conferencia. Explica muy bien el método de eliminación gaussiano.