¿Cómo encuentro una ecuación diferencial cuya solución es una familia de círculos de radios fijos y centros en el eje x?
Si entiendo la pregunta correctamente, está solicitando un DE con la familia de soluciones [matemática] (xC) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática], donde [matemática] C [/ matemática] es arbitraria y [math] r> 0 [/ math] es fijo . Estos son círculos centrados en [matemáticas] (C, 0) [/ matemáticas] con radio [matemáticas] r [/ matemáticas].
Como veremos, hay una complicación en este proceso. Si eliminamos el requisito de que [math] r [/ math] es fijo, podemos hacer un poco más.
Reescribamos esta ecuación para aislar [matemáticas] C [/ matemáticas]:
- [matemáticas] (xC) ^ 2 = r ^ 2-y ^ 2 \\\ implica \ quad xC = \ pm \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2} \\\ implica \ quad x \ mp \ sqrt {r ^ 2-y ^ 2} = C [/ matemáticas]
La diferenciación de ambos lados con respecto a [matemáticas] x [/ matemáticas] da [matemáticas] 1 \ pm \ frac {aa ‘} {\ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}} = 0 [/ matemáticas] … así que eso sería ser uno de esos DE. Si lo prefiere, puede resolver [matemática] y ‘[/ matemática] y escribir [matemática] y’ = \ mp \ frac {\ sqrt {r ^ 2-y ^ 2}} {y} [/ matemática].
En este punto, podría estar objetando la forma bastante inusual de este DE. En particular, los DE no deben incluir “[matemáticas] \ pm [/ matemáticas]”, ¿verdad? Eso no es solo un problema cosmético; Causa problemas con la forma habitual en que construimos soluciones numéricas para los DE. Aquí está el campo de pendiente, y una curva de solución para la condición inicial [matemática] y (1) = 2 [/ matemática], para [matemática] y ‘= \ frac {\ sqrt {9-y ^ 2}} {y }[/matemáticas]; tenga en cuenta que la curva de solución es parte de un círculo con radio 3 centrado en el eje [matemático] x [/ matemático], específicamente en [matemático] (1+ \ sqrt {5}, 0) [/ matemático].
Para [math] y ‘= \ color {red} {-} \ frac {\ sqrt {9-y ^ 2}} {y} [/ math], las mismas condiciones iniciales dan parte de un círculo diferente , este centrado en [matemáticas] (1- \ sqrt {5}, 0) [/ matemáticas]:
Esta es la razón por la cual (creo) que esta DE inusual, o algo diferente pero igualmente extraño, podría ser lo mejor que podemos hacer: los miembros de la familia deseada de soluciones se cruzan entre sí. La mayoría de los DE “con buen comportamiento” satisfacen las hipótesis del teorema de Picard-Lindelöf (“existencia y unicidad”) (EUT). Esas hipótesis garantizan que solo una curva de solución satisfará una (s) condición (es) inicial (es).
Tenga en cuenta que para la familia de soluciones deseada, para la condición inicial [matemáticas] (x, y) = (x_0, y_0) [/ matemáticas], existen:
- sin curvas de solución, si [math] | y_0 |> r [/ math],
- una curva de solución, si [matemática] | y_0 | = r [/ matemática], o
- dos posibles curvas de solución, si [math] | y_0 |
Las soluciones no únicas en el caso final significan que ningún DE con esta familia de soluciones puede satisfacer las hipótesis del EUT.
Como se señaló anteriormente, si se permite que el radio [math] r [/ math] sea arbitrario, entonces podemos encontrar un DE de segundo orden que funcione (la mayoría de las veces).
A partir de [matemáticas] (xC) ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas], diferencie dos veces:
[matemáticas] 2 (xC) + 2yy ‘= 0 \ quad \ implica \ quad 2 + 2yy’ ‘+ 2y’y’ = 0 [/ matemáticas]
El segundo orden DE [math] yy ” + (y ‘) ^ 2 = -1 [/ math] tendrá soluciones únicas para las condiciones iniciales [math] y (x_0) = y_0 [/ math] y [math] y ‘(x_0) = y_1 [/ math], aunque con el requisito de que [math] y_0 \ ne0 [/ math] , ya que todas las curvas de solución tienen líneas tangentes verticales donde cruzan el eje [math] x [/ math] – y por lo tanto, [math] y ‘(x_0) [/ math] tendría que estar indefinido.