Se nos dice que la parábola pasa por [matemáticas] (0, c) [/ matemáticas] y tiene un extremo en [matemáticas] (u, v). [/ Matemáticas]
[matemáticas] y = f (x) = ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
[matemáticas] f (0) = c, [/ matemáticas] así que estamos bien en la intersección [matemáticas] y [/ matemáticas].
[matemáticas] f (u) = v [/ matemáticas]
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[matemáticas] v = au ^ 2 + bu + c [/ matemáticas]
[matemática] f ‘(x) = 2ax + b [/ matemática]
[matemáticas] f ‘(u) = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 = 2au + b [/ matemáticas]
[matemáticas] b = -2ua [/ matemáticas]
OK, tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas;
[matemática] v = au ^ 2 + (-2ua) u + c = au ^ 2 – 2au ^ 2 + c = -au ^ 2 + c [/ math]
[matemáticas] au ^ 2 = cv [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ dfrac {cv} {u ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] b = -2ua = \ dfrac {2 (vc)} {u} [/ matemáticas]
[matemáticas] c = c [/ matemáticas]
La parábola pasa a través de [matemáticas] (0, c) [/ matemáticas] con el extremo en [matemáticas] (u, v) [/ matemáticas] es
[matemáticas] y = \ dfrac {cv} {u ^ 2} x ^ 2 + \ dfrac {2 (vc)} {u} x + c [/ matemáticas]
Cheque:
[matemáticas] f (0) = c \ quad \ marca de verificación [/ matemáticas]
[matemáticas] f (u) = (cv) + 2 (vc) + c = v \ quad \ marca de verificación [/ math]
[matemáticas] f ‘(u) = 2 \ dfrac {cv} {u ^ 2} u + \ dfrac {2 (vc)} {u} = 0 \ quad \ marca de verificación [/ math]
Un comentario preguntó sobre una parábola girada. Una rotación general es
[matemáticas] x ‘= cx -sy [/ matemáticas]
[matemáticas] y ‘= sx + cy [/ matemáticas]
donde [matemáticas] c ^ 2 + s ^ 2 = 1 [/ matemáticas], como coseno y seno. (Aquí los números primos denotan el sistema de coordenadas rotado, no los derivados). Si comenzamos con
[matemáticas] y ‘= a (x’-d) ^ 2 + e [/ matemáticas]
sustituimos y obtenemos
[matemáticas] sx + cy = a (cx-sy-d) ^ 2 + e [/ matemáticas]
como nuestra parábola general.
Solucionemos el problema original con [math] c [/ math] y [math] s [/ math] dado. Nuestras incógnitas son ahora [matemáticas] a, [/ matemáticas] [matemáticas] d [/ matemáticas] y [matemáticas] e. [/ Matemáticas] pegaré y editaré; veamos si funcionan los mismos pasos.
Se nos dice que la parábola rotada pasa por [matemáticas] (0, f) [/ matemáticas] y tiene vértice [matemáticas] (u, v). [/ Matemáticas]
Realmente ya no tenemos una función de [math] x [/ math]. Vamos a enchufar [matemáticas] (0, f) [/ matemáticas]
[matemáticas] cf = a (d + sf) ^ 2 + e [/ matemáticas]
Esa es una ecuación con tres incógnitas; No hay mucho progreso. A continuación, [matemáticas] (u, v) [/ matemáticas], el vértice. Conocemos la parábola en las coordenadas preparadas: [matemática] y ‘= a (x’-d) ^ 2 + e [/ matemática] tiene un vértice en [matemática] x’ = d, y ‘= e. [/ Matemática ]
[matemáticas] d = cu -sv [/ matemáticas]
[matemáticas] e = su + cv [/ matemáticas]
Eso parece obtenernos [matemáticas] d [/ matemáticas] y [matemáticas] e [/ matemáticas] inmediatamente. Necesitamos resolver para [matemáticas] a [/ matemáticas]
[matemáticas] cf = a (d + sf) ^ 2 + e [/ matemáticas]
[matemáticas] a = \ dfrac {cf – e} {(d + sf) ^ 2} [/ matemáticas]
En realidad, eso parecía más fácil, probablemente porque comenzamos con la parábola en forma de vértice [matemáticas] y ‘= a (x’-d) ^ 2 + e. [/ Matemáticas]
Resumiendo, la parábola [matemática] sx + cy = a (cx-sy-d) ^ 2 + e [/ matemática] con [matemática] c [/ matemática] y [matemática] s [/ matemática] dada, [matemática] c ^ 2 + s ^ 2 = 1 [/ math], que pasa por [math] (0, f) [/ math] con vértice en [math] (u, v) [/ math] es
[matemáticas] sx + cy = \ dfrac {cf – e} {(d + sf) ^ 2} (x – cu + sv) ^ 2 + su + cv [/ matemáticas]
Esto necesita un poco de verificación.