Soy demasiado vago para cargar una imagen; los futuros OP pueden querer proporcionar una imagen para estandarizar las respuestas a este tipo de preguntas. Para entender esto, es útil dibujar la imagen de la descripción a continuación.
Comencemos con nuestro círculo, centro C, con los puntos A y B en el círculo. Luego escojamos cualquier punto P en el círculo entre A y B, digamos en el arco que va en sentido antihorario de A a B.
Cada uno de los triángulos ACP y BCP es isósceles, porque AC, PC y BC son todos radios. Entonces [matemática] \ angle CAP = \ angle CPA [/ math] y [math] \ angle CPB = \ angle CBP. [/ Math]
Como [matemáticas] \ angle CAP + \ angle CPA + \ angle ACP = 180 ^ \ circ [/ math], obtenemos
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[matemática] \ angle CPA = (180- \ angle ACP) / 2 = 90 – \ frac 1 2 \ angle ACP. [/ math]
Del mismo modo, [matemática] \ angle CPB = 90 – \ frac 1 2 \ angle BCP. [/ Math]
El ángulo inscrito APB es la suma de esos dos:
[matemáticas] \ angle APB = \ angle CPA + \ angle CPB [/ math]
[matemática] = 90 – \ frac 1 2 \ angle ACP + 90 – \ frac 1 2 \ angle BCP [/ math]
[matemática] = 180 – \ frac 1 2 (\ angle ACP + \ angle BCP) [/ math]
[matemáticas] = 180 – \ frac 1 2 \ ángulo ACB. [/ matemáticas]
Esto prueba el teorema ya que el ángulo inscrito solo depende del ángulo formado por A, B y C, por lo que será el mismo para cada P entre A y B.