¿Cuál es el área total de los sub-triángulos sombreados encerrados en el triángulo de Sierpinski?

Answer 1

Suponga que es un triángulo equilátero de longitud lateral 1 unidad. El área del triángulo es simplemente sqrt (3) / 4, de 1 / 2.bcSin (A). La pregunta parece ser si todos los sub triángulos se suman al infinito, ¿convergerá a sqrt (3) / 4 con la prueba? Intuitivamente, debería.

El triángulo más oscuro del medio del cual hay uno tiene área, de la misma fórmula, de sqrt (3) / (2 ^ 4). El siguiente tamaño de triángulos descendentes, de los cuales hay 3 tiene área sqrt (3) / (2 ^ 6) y, por lo tanto, el área total es 3.sqrt (3) / (2 ^ 6).

Hay nueve triángulos en el siguiente tamaño hacia abajo, cada uno con un área de sqrt (3) / (2 ^ 8), haciendo de este término un total de 9.sqrt (3) / (2 ^ 8).

El patrón emerge: el enésimo término es por lo tanto

3 ^ (n-1). sqrt (3) / (2 ^ (2n + 2)), y la suma de n = 1 a infinito es, por lo tanto,

Sqrt (3) / 4 x SIGMA {3 ^ (n-1) / (4 ^ (n))}

Entonces, proporcionar la suma de los términos dentro de la suma SIGMA tiende a 1 como n tiende al infinito, entonces el área de todos los sub triángulos es igual a Sqrt (3) / 4.

Los primeros términos de la suma son:

1/4 + 3/16 + 9/64 + 27/256 + 81/1024 + 243/4096 + 739/16384 +… (1)

La sumatoria en (1) es una progresión geométrica con una relación común de 3/4 y llevada al término infinito tenderá a la unidad. La fórmula estándar para la suma al infinito de un GP (S = a / (1 – r), donde a es el primer término yr es la razón común) da

S = (1/4) / (1 – 3/4) = 1

Answer 2

Supongamos que el área del triángulo grande es [matemática] 1 [/ matemática]. Eso hará la vida mucho más fácil.

En cada iteración, un triángulo se divide en 4 partes iguales. Cada uno tiene [math] \ frac {1} {4} [/ math] del área del triángulo anterior.

Si el área que nos interesa se llama [matemáticas] X [/ matemáticas], podemos ver que [matemáticas] X = \ dfrac {1 + 3X} {4} [/ matemáticas] desde [matemáticas] X [/ matemáticas] consiste en el triángulo relleno en el medio, más tres veces el área de interés reducida por un factor de [matemática] 4 [/ matemática].

Al resolver esto para [matemáticas] X [/ matemáticas], obtenemos [matemáticas] \ frac {X} {4} = \ frac {1} {4} [/ matemáticas], entonces [matemáticas] X [/ matemáticas] debe ser 1)

¿Cómo es eso posible? ¿Obtenemos toda el área del triángulo original?

Para ver cómo sucede esto, veamos el triángulo de Sierpinsky (la parte blanca de la figura). Primero, consiste en todo el triángulo. Luego, en la primera iteración, solo queda [matemática] \ frac {3} {4} [/ matemática]. En la próxima iteración, tenemos [math] \ frac {9} {16} = \ left (\ dfrac {3} {4} \ right) ^ 2 [/ math]. Después de [math] n [/ math] iteraciones, tenemos [math] \ left (\ dfrac {3} {4} \ right) ^ n [/ math] left. Esto claramente va a [matemática] 0 [/ matemática] a medida que [matemática] n [/ matemática] crece. En el límite, es una curva en lugar de un área.

Answer 3

Es evidente que por iteración se forman 3 triángulos nuevos de un cuarto de área del triángulo original.

El área en la enésima iteración podría representarse teóricamente en las siguientes series:

[matemáticas] \ large A_n = A + \ frac {3} {4} [A + \ frac {3A} {2} + \ frac {9A} {4} + \ frac {27A} {8} +. . . + \ frac {3 ^ {(n-1)} A} {4 (n-1)}] [/ math]

Lo cual convergería a toda el área, ya que n tiende al infinito.

Los fractales solo se podían calcular de forma realista, de manera realista. Por lo tanto, el área solo puede acercarse a toda el área mientras se trabaja en un marco finito.

Fuentes de errores: error de truncamiento, error de redondeo son los principales errores en este problema, debilitando la convergencia.

Una de las estrategias computacionales es elegir un Elemento de Volumen Representativo (RVE) de la celda repetida deseada (con un vacío mínimo deseado) y calcular el área del RVE homogeneizado. Luego se puede escalar el RVE al nivel macroscópico deseado (al abarcar el área con el RVE homogeneizado calculado).

Answer 4

Sí, puedes escribir esto como una suma. La primera iteración es 1/4. La segunda iteración es 1/4 + 3/16. Después de eso 1/4 + 3/16 + 9/64, etc. Para un triángulo exterior con superficie 1, esto se puede escribir como:

[matemáticas] \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {3 ^ {n}} {4 ^ {n + 1}} [/ matemáticas]

Y esta suma converge a 1.

Answer 5

¡Esto te va a extrañar!

¡La respuesta es que el área del triángulo de Sierpinsky es la misma que un triángulo sólido!

Cada gran triángulo opaco tiene cuatro triángulos similares dentro de él.

Entonces, el área azul (como una fracción del área de toda la figura) es:

1/4 + 3/4 (1/4 + 3/4 (1/4 + 3/4 (….)))

Eso es un poco difícil para alguien sin un título en matemáticas para resolver eso, entonces, ¿qué tal si hacemos lo opuesto a eso y preguntamos qué es el área blanca?

El triángulo del medio no tiene blanco, por lo que tenemos el sub-triángulo central que no tiene blanco, y los tres triángulos restantes tienen 1/4 de la cantidad de blanco como un triángulo sierpinski completo, por lo que el área blanca es:

0 + 3/4 (0 + 3/4 (0 + 3/4 (…)))

Así que dejemos de lado los ceros sin sentido:

3/4 (3/4 (3/4 (….)))

… y quita los corchetes:

3/4 x 3/4 x 3/4 x…

Entonces tres cuartos de tres cuartos de tres cuartos de …

… que es … um … cero?!?!

Mira esto de otra manera. Supongamos que comenzamos con un gran triángulo azul y le quitamos partes una y otra vez … las partes blancas que obtenemos en cada etapa se vuelven cada vez más pequeñas porque reducimos continuamente su área pegando un triángulo azul en el medio de cada una.

En última instancia, el área de las partes que estamos eliminando se hace cada vez más pequeña hasta que son infinitamente pequeñas.

Por lo tanto, este peculiar objeto es completamente azul, mientras que al mismo tiempo está lleno de agujeros.

Los fractales son * TAN * raros.

Answer 6

Deje que el lado del cuadrado grande sea 1. Su área es (sqrt (3)) / 4. Voy a llamar a esta cantidad a. La primera iteración consiste solo en el triángulo del medio, cuya área es a / 4. Cada iteración posterior produce 3 triángulos más pequeños alrededor de un triángulo agregado en la iteración anterior, cada uno con un área de 1/4 del área de uno de los triángulos agregados en la iteración anterior. El área total es

A = a / 4 + (a / 4) (3/4) + (a / 4) (3/4) ^ 2 + (a / 4) (3/4) ^ 3 +….

Esta es una serie geométrica con r = 3/4, entonces A = (a / 4) / (1 – 3/4) = a. El área total es la misma que el triángulo original.

Answer 7

Puede encontrar el área en blanco (por lo que no está cubierta por ningún triángulo) como el límite de una secuencia.

Primero eliminas el triángulo oscuro central, que representa el 25% del área total. Entonces te queda el 75%. Si el área inicial es 1, ahora tiene 3/4.

Ahora retire una vez el triángulo central de cada uno de los lados, de modo que cada uno de los tres triángulos blancos se reduzca nuevamente a 3/4 de su área inicial. Entonces, el área que queda blanca es (3/4) · (3/4) = 9/16.

Repita nuevamente, en cada paso, el área blanca se reduce a 3/4 del paso anterior. El límite de esta secuencia es cero, lo que significa que para cualquier número real positivo, tan pequeño como desee, si profundiza lo suficiente eliminando el triángulo, tendrá un área de malle de área blanca restante que ese número. Lo que significa que el área de la parte blanca de la figura límite (que es completamente definible en coordenadas, por lo que no se necesita un proceso “infinito”) es exactamente cero y el área de los triagle coloreados es igual al área del triángulo inicial.

Answer 8

Para un número infinito de iteraciones: cualquiera que sea el área del triángulo.

Para cualquier número dado de iteraciones: suma del área del triángulo de Sierpinski por número de iteraciones

Answer 9

La respuesta corta es que el área debe ser igual al área del triángulo original, porque la junta de Sierpinski (todas las regiones “sin sombrear”) tiene área cero. Ver área de juntas Sierpinski

Pero también podemos escribir una serie geométrica. Digamos que el triángulo inicial tiene área 1. Entonces el triángulo sombreado más grande tenía área 1/4. (Esto se muestra fácilmente usando simetría). Cada uno de los siguientes triángulos más pequeños ocupa 1/16 del área original, y hay 3 de ellos. Luego 1/64 del área, con 9 triángulos.

En cada iteración, hay 3 veces más triángulos, pero cada uno ocupa 1/4 del área del triángulo anterior. Eso da una serie geométrica con una proporción de 3/4 para el área total:

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ frac {3} {16} + \ frac {9} {64} + \ frac {81} {256} + \ cdots = \ sum_ {i = 0 } ^ {\ infty} \ frac {1} {4} \ left (\ frac {3} {4} \ right) ^ i = \ frac {1} {4} \ cdot \ frac {1} {1 – \ frac {3} {4}} = 1 [/ matemáticas]